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Cours : Algèbre II > Chapitre 15

Leçon 1: Divisibilité d'un polynôme par un autre polynôme

Divisibilité d'un polynôme par un autre

La divisibilité dans l'ensemble des polynômes.

Rappel

Un monôme est une expression de la forme

a x^{n}

ou a est un nombre réel et

n

un entier naturel. Exemple :

3 x^{2}

. Un polynôme est une somme algébrique de monômes. Exemple :

3 x^{2} + 6 x - 1

Le sujet traité

Dans cette leçon, on étudie les diviseurs et les multiples d'un polynôme et la méthode à utiliser pour établir si un polynôme est diviseur d'un autre polynôme.

Diviseurs et divisibilité dans l'ensemble des entiers

Soient les entiers

a

b

c

. Si

c = a \times b

, alors

a

b

sont des diviseurs de

c

Par exemple,

14 = 2 \times 7

, donc

2

7

sont des diviseurs de

14

L'entier

a

est divisible par l'entier

b

si le quotient de

a

par

b

est un entier.

Par exemple,

\frac{15}{3} = 5

\frac{15}{5} = 3

, donc

15

est divisible par

3

et par

5

. mais

\frac{9}{4} = 2, 25

, donc

9

n'est pas divisible par

4

Les relations "est diviseur de.." et "est divisible par ..." sont réciproques l'une de l'autre.

14 = 2 \times 7

équivaut à

\frac{14}{2} = 7

, donc

2

est un diviseur de

14

équivaut à

14

est divisible par

2

\underset{2 est un diviseur de 14}{\underset{⏟}{14 = 2 \times 7}} ⟶ \underset{14 est divisible par 2}{\underset{⏟}{\frac{14}{2} = 7}}

Dans l'autre sens,

\frac{15}{3} = 5

donc

15 = 3 \times 5

peut se traduire par :

15

est divisible par

3

, donc

3

est un diviseur de

15

\underset{15 est divisible par 3}{\underset{⏟}{\frac{15}{3} = 5}} ⟶ \underset{3 est un diviseur de 15}{\underset{⏟}{15 = 3 \times 5}}

De façon générale : Si

a

est un diviseur de

b

, alors

b

est divisible par

a

, et réciproquement.

Diviseurs et divisibilité dans l'ensemble des polynômes

Tout ceci s'applique aux polynômes.

Soient les polynômes

P

Q

R

. Si

P = Q \times R

, alors

Q

R

sont des diviseurs de

P

Par exemple,

2 x (x + 3) = 2 x^{2} + 6 x

. Donc

2 x

x + 3

sont des diviseurs de

2 x^{2} + 6 x

Et un polynôme est divisible par un autre polynôme si le quotient du premier par le deuxième est un polynôme.

par exemple,

\frac{6 x^{2}}{3 x} = 2 x

\frac{6 x^{2}}{2 x} = 3 x

, donc

6 x^{2}

est divisible par

3 x

et par

2 x

. En revanche,

\frac{4 x}{2 x^{2}} = \frac{2}{x}

, donc

4 x

n'est pas divisible par

2 x^{2}

Deux autres exemples :

\underset{2 x est un diviseur de 2 x^{2} + 6 x}{\underset{⏟}{2 x \times (x + 3) = 2 x^{2} + 6 x}} ⟶ \underset{2 x^{2} + 6 x est divisible par 2 x}{\underset{⏟}{\frac{2 x^{2} + 6 x}{2 x} = x + 3}}

\underset{6 x^{2} est divisible par 3 x}{\underset{⏟}{\frac{6 x^{2}}{3 x} = 2 x}} ⟶ \underset{3 x est un diviseur de 6 x^{2}}{\underset{⏟}{3 x \times (2 x) = 6 x^{2}}}

De façon générale, si les polynômes

P

Q

R

sont tels que

P = Q \times R

, alors

$Q$ ‍ et $R$ ‍ sont des diviseurs du polynôme $P$ ‍.
$P$ ‍ est divisible par $Q$ ‍ et par $R$ ‍.

À vous !

1) $3 x (x + 2) = 3 x^{2} + 6 x$ ‍, donc

x + 2

est

3 x^{2} + 6 x

, et

3 x^{2} + 6 x

est

x + 2

2) Un professeur a écrit au tableau :

(3 x^{2}) \times (4 x) = 12 x^{3}

Marin en a déduit que

3 x^{2}

est un diviseur de

12 x^{3}

Judith en a déduit

12 x^{3}

est divisible par

4 x

Qui a raison ?

Diviseurs d'un polynôme - Divisibilité d'un polynôme par un autre

Exemple 1 : $24 x^{4}$ ‍ est-il divisible par $8 x^{3} ?$ ‍

Pour répondre à la question on simplifie le quotient

\frac{24 x^{4}}{8 x^{3}}

. Si le résultat est un monôme, alors

24 x^{4}

est divisible par

8 x^{3}

. Sinon,

24 x^{4}

n'est pas divisible par

8 x^{3}

\begin{aligned} \frac{24 x^{4}}{8 x^{3}} & = \frac{24}{8} \times \frac{x^{4}}{x^{3}} \\ = 3 \times x^{1} & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \\ = 3 x \end{aligned}

3 x

est un monôme, donc

24 x^{4}

est divisible par

8 x^{3}

. Et

8 x^{3}

est un diviseur de

24 x^{4}

Exemple 2 : $4 x^{6}$ ‍ est-il un diviseur de $32 x^{3}$ ‍ ?

Pour savoir si

4 x^{6}

est un diviseur de

32 x^{3}

on étudie si

32 x^{3}

est divisible par

4 x^{6}

. Pour cela, on simplifie le quotient

\frac{32 x^{3}}{4 x^{6}}

\begin{aligned} \frac{32 x^{3}}{4 x^{6}} & = \frac{32}{4} \times \frac{x^{3}}{x^{6}} \\ = 8 \times x^{- 3} & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \\ = 8 \times \frac{1}{x^{3}} & a^{- m} = \frac{1}{a^{m}} \\ = \frac{8}{x^{3}} \end{aligned}

\frac{8}{x^{3}}

n'est pas un monôme, donc

4 x^{6}

n'est pas un diviseur de

32 x^{3}

A retenir

Pour établir si le polynôme

P

est divisible par le polynôme

Q

, ou ce qui revient au même si le polynôme

Q

est un diviseur du polynôme

P

, on étudie le quotient

\frac{P (x)}{Q (x)}

Si ce quotient est un polynôme, alors le polynôme

P

est divisible par le polynôme

Q

, et le polynôme

Q

est un diviseur du polynôme

P

À vous !

3) $30 x^{4}$ ‍ est-il divisible par $2 x^{2} ?$ ‍

4) $12 x^{2}$ ‍ est-il un diviseur de $6 x ?$ ‍

Un dernier exercice

5) Ces monômes sont-ils des diviseurs de $15 x^{2} y^{6} ?$ ‍

	diviseur	N'est pas un diviseur
$3 x^{2} y^{5}$ ‍
$5 x$ ‍
$10 x^{4} y^{3}$ ‍

Pour savoir si le monôme

A

est un diviseur de

15 x^{2} y^{6}

, on étudie le quotient de

15 x^{2} y^{6}

par

A

On écrit le quotient de

15 x^{2} y^{6}

par chacun des monômes donnés.

\begin{aligned} \frac{15 x^{2} y^{6}}{5 x} & = 3 x y^{6} \\ \frac{15 x^{2} y^{6}}{3 x^{2} y^{5}} & = 5 y \\ \frac{15 x^{2} y^{6}}{10 x^{4} y^{3}} & = \frac{3 y^{3}}{2 x^{2}} \end{aligned}

3 x y^{6}

5 y

sont des monômes, donc

5 x

3 x^{2} y^{5}

sont des diviseurs de

15 x^{2} y^{6}

\frac{3 y^{3}}{2 x^{2}}

n'est pas un monôme, donc

10 x^{4} y^{3}

n'est pas un diviseur de

15 x^{2} y^{6}

6) L'aire du rectangle de largeur

x + 1 cm

et de longueur

x + 4 cm

est égale à

x^{2} + 5 x + 4 {cm}^{2}

Les diviseurs de $x^{2} + 5 x + 4$ ‍ sont :

Quel est l'intérêt de chercher les diviseurs d'un polynôme ?

La recherche des diviseurs d'un nombre entier est utile car elle a beaucoup d'applications et il en est de même avec les polynômes !

En particulier, elle est utile pour résoudre les équations du second degré et pour simplifier les fractions rationnelles.

Ceci est traité dans les leçons :

Résoudre une équation du second degré en factorisant
Simplifier une fraction rationnelle

Quelle est la prochaine leçon ?

Dans la prochaine leçon, nous étudierons comment diviser un monôme par un autre monôme.

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Diviseurs et divisibilité dans l'ensemble des entiers

Diviseurs et divisibilité dans l'ensemble des polynômes

À vous !

Diviseurs d'un polynôme - Divisibilité d'un polynôme par un autre

Exemple 1 : 24x4‍ est-il divisible par 8x3?‍

Exemple 2 : 4x6‍ est-il un diviseur de 32x3‍ ?

A retenir

À vous !

Un dernier exercice

Quel est l'intérêt de chercher les diviseurs d'un polynôme ?

Quelle est la prochaine leçon ?

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Exemple 1 : $24 x^{4}$ ‍ est-il divisible par $8 x^{3} ?$ ‍

Exemple 2 : $4 x^{6}$ ‍ est-il un diviseur de $32 x^{3}$ ‍ ?