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Cours : 5e année secondaire - 4 h > Chapitre 4

Leçon 6: Les limites au service du graphique d'une fonction

La courbe représentative d'une fonction polynôme

Google Classroom

Utiliser les propriétés d'une fonction polynôme pour en déduire l'allure de sa courbe représentative.

Les prérequis

Les limites à l'infini d'une fonction polynôme, c'est-à-dire les réponses à ces deux questions :

Quelle est la limite de $f (x)$ ‍ si $x \to + \infty ?$ ‍
Quelle est la limite de $f (x)$ ‍ si $x \to - \infty ?$ ‍

Ce sujet est traité dans la leçon Limites à l'infini d'une fonction polynôme.

Les racines de la fonction polynôme

f

sont les abscisses des points communs à la courbe de

f

et à l'axe des

x

. Si une racine de

f

est d'ordre impair, elle est l’abscisse d'un point où la courbe représentative de

f

coupe l'axe des

x

. Si une racine de

f

est d'ordre pair, elle est l’abscisse d'un point où la courbe représentative de

f

est tangente à l'axe des

x

Si besoin, reportez-vous à la leçon Associer un polynôme à sa représentation graphique en utilisant ses racines.

Le sujet traité

Ici, on se sert de ces propriétés pour donner l'allure de la courbe représentative de la fonction polynôme étudiée.

Un exemple

Que sait-on de la courbe représentative de la fonction

f

définie par

f (x) = (3 x - 2) (x + 2)^{2}

Son point d'intersection avec l'axe des ordonnées

On calcule l'image de

0

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ f (0) & = (3 \times 0 - 2) (0 + 2)^{2} \\ f (0) & = - 2 \times 4 \\ f (0) & = - 8 \end{aligned}$ ‍

L'ordonnée de son point d'intersection avec l'axe des

y

est

- 8

Ses points communs avec l'axe des abscisses

On résout l'équation

f (x) = 0

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ 0 & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \end{aligned}$ ‍
$\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ 3 x - 2 & = 0 & ou x + 2 & = 0 \\ x & = \frac{2}{3} & ou x & = - 2 \end{aligned}$ ‍

Les couples de coordonnées de ses points communs avec l'axe des

x

sont

(\frac{2}{3}; 0)

(- 2; 0)

\frac{2}{3}

est une racine simple et

- 2

est une racine double. Donc la courbe de la fonction

f

coupe l'axe des

x

au point de coordonnées

(\frac{2}{3}; 0)

et elle est tangente à l'axe des

x

au point de coordonnées

(- 2; 0)

Son comportement à l'infini

La limite d'une fonction polynôme quand

x

tend vers l'infini est égale à la limite de son terme de plus haut degré.

On développe

f (x)

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ f (x) & = (3 x - 2) (x^{2} + 4 x + 4) \\ f (x) & = 3 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x - 2 x^{2} - 8 x - 8 \\ f (x) & = 3 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x - 8 \end{aligned}$ ‍

Le terme de plus haut degré est

3 x^{3}

, donc les limites de

f (x)

quand

x

tend vers

- \infty

ou vers

+ \infty

sont les même que celles de

3 x^{3}

3 x^{3}

est de degré impair et

3

est positif, donc si

x \to + \infty

f (x) \to + \infty

et si

x \to - \infty

f (x) \to - \infty

L'allure de la courbe de la fonction $f$ ‍

On utilise les résultats précédents.

D'abord les limites de

f

à l'infini :

Si $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.
Si $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍.

Pour les très grandes valeurs de

x

en valeur absolue, la courbe de

f

se comporte comme la courbe de la fonction qui à

x

fait correspondre

x^{3}

Maintenant les point d'intersection avec l'axe des

x

$- 2$ ‍ est une racine double donc la courbe de $f$ ‍ est tangente à l'axe des $x$ ‍ au point de coordonnées $(- 2; 0)$ ‍.
$\frac{2}{3}$ ‍ est une racine simple donc la courbe de $f$ ‍ coupe l'axe des $x$ ‍ au point de coordonnées $(\frac{2}{3}; 0)$ ‍.

Enfin, on sait que le point d'intersection de la courbe de

f

et de l'axe des

y

est le point de coordonnées

(0; - 8)

. On en déduit l'allure de la courbe de

f

Même si on ne sait pas quelle est exactement abscisse du minimum, on a une bonne idée de l'allure de la courbe de

f

Les intervalles sur lesquels la fonction est positive ou négative.

On peut répondre à la question de savoir sur quels intervalles la fonction est positive et sur quels intervalles elle est négative.

On lit que

f

est positive si

x > \frac{2}{3}

et négative si

x < - 2

ou si

- 2 < x < \frac{2}{3}

A vous !

1) La fonction

f

est définie par

f (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)

a) Quel est le couple de coordonnées du point d'intersection avec l'axe des $y$ ‍ de la courbe de la fonction $f ?$ ‍
$(0$ ‍,
Votre réponse doit être
un entier, comme $6$ ‍
une fraction simplifiée telle que $3 / 5$ ‍
une fraction simplifiée telle que $7 / 4$ ‍
un nombre fractionnaire, par exemple, $1 3 / 4$ ‍
un nombre décimal, comme $0, 75$ ‍
un multiple de Pi, tels que $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍
$)$ ‍

b) Si $f (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍, alors...
Choisissez une seule réponse :
(Choix A)
Si $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, et si $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Choix B)
Si $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, et si $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Choix C)
Si $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, et si $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Choix D)
Si $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, et si $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

La limite d'une fonction polynôme quand $x$ ‍ tend vers l'infini est égale à la limite de son terme de plus haut degré.
On développe $f (x)$ ‍.
$\begin{aligned} f (x) & = (x + 1) (x - 2) (x + 5) \\ f (x) & = (x + 1) (x^{2} + 3 x - 10) \\ f (x) & = x^{3} + 3 x^{2} - 10 x + x^{2} + 3 x - 10 \\ f (x) & = x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 10 \end{aligned}$ ‍
Le terme de plus haut degré est $x^{3}$ ‍, donc le comportement de la fonction $g$ ‍ à l'infini est le même que celui de $x^{3}$ ‍.
$x^{3}$ ‍ est de degré impair et $1$ ‍ est positif, donc si $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍ et si $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍.

c) Quels sont les couples de coordonnées des points communs à la courbe représentative de la fonction $f$ ‍ définie par $f (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍ et à l'axe des $x ?$ ‍
Choisissez une seule réponse :
(Choix A)
$(1; 0)$ ‍, $(- 2; 0)$ ‍ et $(5; 0)$ ‍
(Choix B)
$(- 1; 0)$ ‍, $(2; 0)$ ‍ et $(- 5; 0)$ ‍

d) Laquelle de ces courbes peut être celle de la courbe représentative de la fonction $f$ ‍ définie par $f (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5) ?$ ‍
Choisissez une seule réponse :
(Choix A)
(Choix B)
(Choix C)
(Choix D)

2) Laquelle de ces courbes peut être la courbe représentative de la fonction qui à tout $x$ ‍ réel fait correspondre $y = (2 - x) (x + 1)^{2}$ ‍

On étudie les limites à l'infini de la fonction qui à tout

x

réel fait correspondre

y = (2 - x) (x + 1)^{2}

et les points d'intersection avec les axes de sa courbe représentative.

Le point d'intersection de la courbe avec l'axe des $y$ ‍

On remplace

x

par

0

$\begin{aligned} y & = (2 - x) (x + 1)^{2} \\ y & = (2 - 0) (0 + 1)^{2} \\ y & = 2 \end{aligned}$ ‍

L'ordonnée du point d'intersection de la courbe avec l'axe des

y

est

2

Les points communs avec l'axe des $x$ ‍

On remplace

y

par

0

\begin{aligned} y & = (2 - x) (x + 1)^{2} \\ 0 & = (2 - x) (x + 1)^{2} \\ 2 & - x = 0 ou x + 1 = 0 \\ x & = 2 ou x = - 1 \end{aligned}

- 1

est une racine double et

2

est une racine simple. Donc la courbe est tangente à l'axe des

x

au point de coordonnées

(- 1, 0)

et elle coupe l'axe des

x

au point de coordonnées

(2, 0)

Les limites de la fonction à l'infini

On développe :

$\begin{aligned} y & = (2 - x) (x + 1)^{2} \\ y & = (2 - x) (x^{2} + 2 x + 1) \\ y & = 2 x^{2} + 4 x + 2 - x^{3} - 2 x^{2} - x \\ y & = - x^{3} + 3 x + 2 \end{aligned}$ ‍

Les limites à l'infini de la fonction qui à tout

x

réel fait correspondre

y = (2 - x) (x + 1)^{2}

sont les mêmes que celles de la fonction qui à tout

x

réel fait correspondre

y = - x^{3}

x \to + \infty

y \to - \infty

, et si

x \to - \infty

y \to + \infty

L'allure de la courbe

On en déduit que seule la courbe

D

répond à la question,

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Ses points communs avec l'axe des abscisses

Son comportement à l'infini

L'allure de la courbe de la fonction f‍

Les intervalles sur lesquels la fonction est positive ou négative.

A vous !

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