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Cours : 6e année secondaire - 4 h > Chapitre 3 

Leçon 6: Loi normale
Mathématiques
6e année secondaire - 4 h
Variables aléatoires et lois de probabilités
Loi normale
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La loi normale - Savoirs et savoir-faire

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Les lois normales ont une grande importance en statistiques. La courbe représentative de leur fonction de densité est appelée courbe de Gauss ou courbe en cloche du fait de sa forme. Elle possède un axe de symétrie en la moyenne ou la médiane (elles sont égales) et des intervalles remarquables (68% des observations sont comprises dans un intervalle de +/- un fois l'écart-type autour de la moyenne.)

La loi normale ou loi de Laplace-Gauss

Les premiers statisticiens ont constaté que de nombreuses distributions statistiques observées pouvaient être décrites et modélisées par une loi nommée par conséquent loi normale (cela ne signifie pas pour autant que les autres distributions soient anormales).
Les propriétés d'une distribution normale sont :
  • La fonction de densité de probabilités de la loi normale a la forme d'une courbe en cloche symétrique
  • la moyenne et la médiane sont égales ; la courbe est centrée sur la moyenne
  • L’axe des abscisses est une asymptote, σ représente la différence des abscisses entre le sommet de la courbe et le point d’inflexion. ≈68% des observations sont comprises dans un intervalle de +/- un fois l'écart-type autour de la moyenne
  • ≈95% des observations sont comprises dans un intervalle de +/- 2 fois l'écart-type autour de la moyenne
  • et ≈99,7% des observations sont comprises dans un intervalle de +/- 3 fois l'écart-type autour de la moyenne.
La vidéo.

Tracer la courbe représentative d'une fonction de densité de la loi normale : exemple

Le diamètre du tronc d'une certaine variété de pin suit la loi normale de paramètres μ=150cm et σ=30cm.
Tracer la courbe représentative de la distribution "diamètre des troncs".
Solution :
1 : On trace la courbe représentative de la fonction densité de la loi N (µ ; σ2).
2 : La courbe est symétrique par rapport à la droite d'équation x=150.
3 : On sait que l'intervalle 150+/- 30ext, c'est à dire [120;180] contient 69,48 % des observations. L'intervalle 150+/- 2×30 c'est à dire [90;210] contient 94,87 % des observations.
Exercice 1
La taille de cette même variété de pins suit aussi une loi normale. de paramètres μ=33m et σ=3m.
Quelle distribution normale résume le mieux les données ?
Choisissez une seule réponse :

Calcul de pourcentages d'observations : exemple

Une certaine variété de pin a un diamètre moyen du tronc de μ=150cm et un écart-type de σ=30cm.
Quel est environ le pourcentage de pins dont le diamètre du tronc est supérieur à 210cm ?
Solution :
1 : On trace la courbe représentative de la fonction densité de la loi N (µ ; σ2) avec μ=150cm et σ=30cm.
2 : Un diamètre de 210cm correspond au diamètre à deux écarts-types au-dessus de la moyenne. On colorie l'aire du domaine correspondante à P(X>210) .
3 : On additionne les pourcentages d'observations correspondants à cette probabilité :
2,35 %+0,15 %=2,5 %
Environ 2,5% des pins ont un diamètre supérieur à 210cm.
la vidéo.
exercice 2
Quel est environ le pourcentage de pins dont le diamètre du tronc est compris entre 90 et 210 centimètres ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
%

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices sur la règle empirique.

Calcul d'un nombre d'observations : exemple

Une certaine variété de pin a un diamètre moyen du tronc de μ=150cm et un écart-type de σ=30cm.
Une parcelle de la forêt contient 500 de ces pins.
Quel est environ le nombre de ces pins dont le diamètre du tronc est inférieur à 120cm ?
Solution :
1 : On trace la courbe représentative de la fonction densité de la loi N (µ ; σ2) avec μ=150cm et σ=30cm.
2 : Un diamètre de 120cm correspond au diamètre à un écart -type en dessous de la moyenne. On colorie l'aire du domaine correspondante à P(X<120) .
3 : On additionne les pourcentages d'observations correspondants à cette probabilité :
0,15%+2,35%+13,5%=16%
Environ 16% des pins ont un diamètre inférieur à 120cm.
4 : On calcule le nombre de pins correspondant.
On calcule 16% de 500.
16% de 500=0,16×500=80
Environ 80 pins ont un diamètre inférieur à 120cm.
exercice 3
Une certaine variété de pin a un diamètre moyen du tronc de μ=150cm et un écart-type de σ=30cm.
Une parcelle de la forêt contient 500 de ces pins.
Quel est environ le nombre de pins dont le diamètre du tronc est compris entre 120 et 180 centimètres ?
≈
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
pins

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