La méthode de Gram-Schmidt

alors dans cette vidéo on va considérer un ensemble de vecteurs on va considérer le vecteur v1 v2 et c'est jusqu'au vecteur vega et on va considérer que cet ensemble de facteurs c'est une base d'un sous espace v coup c'est une base de v et pour l'instant on fait passer de base si les vecteurs sont orthogonaux entre eux on ne sait pas s'ils sont normalisées mais on aimerait à partir de cette base qui est une base finalement assez quelconque on aimerait obtenir une base hors taux normal de v comment est-ce qu'on pourrait obtenir une base hors taux normal or taux normal devaient à partir de cette base ici c'est la question qu'on va se poser et à laquelle on va essayer de répondre alors si on commence assez simplement si on considère un sou espace v1 et on va dire que v1 c'est le vecteur de du premier vecteur de ma base donc v1 donc le sous-espèce vnc levêque tu de mon secteur v1 à ce moment là on peut considérer le vecteur 1 1 en disant qu un c'est un vecteur en fait qui va être normalisées et on va prendre c'est le vecteur v1 / la longueur de v1 à ce moment là qu'est ce qu'on a quelle est la longueur de juin la longueur de u17 égal à quoi c'est égal à u1 donc c'est v1 sur la longueur de v1 et on prend la longueur de tout ça et du coup ici la longueur de v1 c'est un scalaire du coup on peut centre on peut sortir un sur la longueur de verre ça vaut c'est un scalaire ça vous ça vaut un ca vaut 5 ça vous quelque chose donc un sur la longueur de p1 fois ce qu'il reste donc fois la longueur de v1 du coup eu un sa longueur c'est bien égal à un humain c'est bien un vecteur qui est normalisée et du goût ce qu'on a c'est que l'ensemble formé par le vecteur u11 finalement c'est une base hors taux normal de v1 c'est une base hors taux normal de v1 pourquoi parce que finalement ici le vecteur de v1 c'est égal au 22 juin vu que v1 c'est égal lui un fois la norme de 20 ça veut dire que v1 est une combinaison l'inr de juin du coup le vecteur de v1 ou le 22 juin c'est la même chose et informe bien une base qui cette fois-ci et or taux normal de v1 donc on voit que si on n'a qu'un seul vecteur dans ma base initiale c'est facile je peux très facilement obtenir une base hors taux normal de se souder espaces maintenant on va supposer qu'on a plus que un vecteur et on va considérer on va considérer v2 on va dire que v2 c'est le vecteur de v1 et v2 alors ça on peut aussi la griffe comme le vecteur de hua hin et v2 vu qu'on a dit que v1 peut écrire comme une combinaison une aire de u1 ça c'est égal vectes 2 1 et 2 v2 maintenant si on regarde un peu ça du coup ici c'est facile on est à deux dimensions du coup on va supposer qu'on a le vecteur juin on va dire qu un c'est un vecteur qui est comme ceux ci ça c'est mon vecteur 1 et du coup v1 la sous-espèce v1 c'est le vecteur de v1 ou v2 eu un but qu'on a dicté la même chose et du coup c'est la droite porté par eu un du coup elle est comme ceux ci comme ceux ci ça c'est mon souhait espace v1 et maintenant ce que j'ai envie 2g un deuxième vecteur qui par définition n'est pas sur 20 vu que v1 les vecteurs v1 et v2 sont linéairement indépendant on sait que v2 ne peut pas être obtenu par une combinaison in her 2 v 1 donc j'ai que v2 c'est un vecteur qui va être comme ceux ci par exemple ça c'est v2 mais je sais aussi que v2 du coup je pourrais écrire comme la combinaison linéaire ou le la somme d'un vecteur comme ceux-ci perpendiculaire ou orthogonale avait 1 et d'un deuxième vecteur compris dans v un sage et c'est quelque chose qu'on a vu plusieurs fois on a dit que v2 on pouvez l'écrire comme la somme d'un vecteur x plus un vecteur y ou x a pas tiens à v1 et y appartient aux compléments togo n'a de v1 c'est ce qu'on a ici en fait ici on a le vecteur y il est ici le vecteur x est le vecteur que j'ai représenté en bleu ici et du coup on a bien v2 qui est x plus y est ce qu'on sait aussi c'est que x ici c'est quoi c'est tout simplement la projection de v2 sur ma droite ici du coup sûr v1 du coup x je peux l'écrire comme la projection surnom sous espace v12 mon vecteur v2 et moi ce qui m'intéresse michel initialement ce que je voulais faire c'est obtenir une base hors tout normales et du coup pour avoir une base hors taux normal en fait il faut que je au lieu de prendre v2 que je prenne le vecteur y est y je sais que y je sais quoi c'est égal tout simplement si je prends cette relation et jean place fixe par la projection de v2 sur v1 y cv 2 - la projection sur v12 mon vecteur v2 alors ici pour que ce soit plus facile vu ça je vais l'appeler y 2 et du coup pour aller plus loin que vous la projection devait deux surveillants la projection sur v12 mon vecteur v2 vient on connaît on connaît une base hors taux normal devaient ainsi l école le composé du vecteur 1 et du coup je peux dire que la projection de v2 sur v 1 c'est égal à quoi c'est égal au produit scalaires de mon vecteur v2 fois le premier vecteur de ma base du cou u11 donc ça c'est un produit scalaires du coup c'est un scalaire fois le premier vecteur de ma base juin et si j'avais d'autres vecteurs de moba je ferais la même chose pour chaque vecteur de la base une si j'en ai qu'un du coup ma projection peut s'écrire simplement on voit que c'est tout simplement une combinaison in her 2 du seul vecteur de ma base ici et du coup je peut réécrire ce y 2g que y 2 c'est égal avait deux - et je réécris ça - v2 scalaires un porté par une et du coup j'ai que y deux c'est bien une combinaison in her de v2 et 2 juin du coup le vectes ici je peux le réécrire comme le vecteur de u11 et y de ça je peux l'écrire parce que y 2 c'est une combinaison in her 2 v 2 et 2,1 alors ici j'ai bien une base si je prends u11 y deux c'est bien une base de v2 laisser une base qui est orthogonale parce que y 2 qui est ici et bien orthogonale amont vecteur eu un mais y de on l'a pas normalisée du coup on peut prendre le vecteur u2 donc considérer le vecteur u2 qu'on obtient comme y 2 / la longueur 2 y 2 et ce vecteur u2 ici maintenant il vient normalisée du coup je peut réécrire v2 je peux écrire que v2 les sous-espèces v2 c'est égal à quoi c'est égal vectes 2 1 u2 vu que en fait u2 est une combinaison in her 2 y 2 donc je peux écrire v2 comme vecteur de eu un et deux et maintenant l'ensemble formé par eu un ou deux c'est bien une base au retour normal vu que les deux vecteurs sont normalisés et ils sont orthogonaux entre eux donc si j'avais que deux vecteurs dans ma base de départ je pourrais m'arrêter ici ici j'ai bien obtenu une base au retour normal maintenant si on suppose que j'ai plus de deux vecteurs dans ma base initiale c'est à dire six cas ici est supérieure à 2 tu peux continuer je peux continuer le processus est à ce point là je prends de v3 qui va être égal au vectes 2 1 u2 et je vais rajouter un troisième facteur qui est le troisième vecteur de ma base initiale v3 et du coup maintenant qu'est-ce que je peux faire je sais que v3 n'est pas comprise dans le plan en forme est paru un et deux vu que mama mais vecteur initiaux v1 v2 et v3 son lit normand indépendant du coup si je trace le plan formé par le m2 qu'est ce que je veux avoir je veux avoir du coup mon plan comme ceci j'ai mon plan fort mais pas eu un a eu deux et je sais que v3 n'est pas compris dans ce plan b 3 sort de ce plan donc ça c'est v3 est ici de la même façon que ce que par rapport à ce que j'avais fait dans le cas précédent je peux considérer que v3 il est c'est la somme d'un vecteur qui va être orthogonale au plan et d'un vecteur du plan et en fait moi je vais m'intéresser aux vecteurs qui est orthogonale à ce plan qu'on va appeler y 3 et je sais qu'ici qu'est-ce que j'ai j'ai la projection j'ai la projection 2v 3 sur mon souhait espace v2 parce que le plan l'ifi en bleu c'est bien v2g la projection sur v2 demong acteurs v3 et du coup je peux écrire que y trois longs vecteur y 3 c'est quoi ces gars-là v3 - la projection sur v22 mon secteur v3 et maintenant c'est quoi cette projection devait 3 sur mon souhait espace v2 je peux l'écrire la projection sur mon souhait espace v2 de mon secteur v3 comme j'avais fait ici je connais une base hors taux normal de v2 qui est formé des vecteurs u11 et u12 et du coup je sais que ça c'est égal à v3 scalaires une fois eu un plus v3 scalaires eu deux fois u2 et du coup je sais que y-3 je peux l'écrire comme v3 moins ce que j'ai écris ici donc moins v3 scalaires juin fois eu un plus v3 f eu deux fois u2 et du coup j'ai que y 3 et bien une combinaison linéaire 2v 3 2 u11 et de u2 je peux bien évidemment définir le vecteur hull 3 qui va être égal aux vecteurs y 3 / la longueur de y 3 et du coup un vecteur eu 3 il va bien être orthogonale a eu un oeil 2 et va être aussi normalisée et du coup si je pense je peux maintenant dire que v3c égale vectes de u11 u12 et u13 et maintenant eu un et deux et trois forment une base hors taux normal de v3 et du coup si si j'avais initialement comme une phase initiale mange avec à égal à 3 j'ai fini simon procéder maintenant si j'ai cas qui vaut 4 par exemple je peux continuer je pense que maintenant tu tu comprends l'idée je peux dire que v4 tu peux considérer le sous-espèce v4 qui est le vecteur de 1u et 2u 3 et je vais rajouter v4 et du coup maintenant ce que je peux faire comme j'ai fait précédemment je peux considérer le vecteur je peux remplacer sa part un vecteur y je peux remplacer v4 part avec y 4 qui est égal à v 4 - la projection sur mon souhait espace v3 de mon vecteur v4 et du coup j'ai je peux bien remplacer ici v4 part égale 4 parce que je sais que v4 si je prends la l'équation d'audience ge v4 est égal à y4 plus la projection sur v3 de mon vecteur v4 or la projection sur v3 de moteurs v4 c'est une combinaison in her 2 mai vecteur lui un et deux et trois et du couvent et 4 et bien une combinaison in her 2 y 4 et 2 u11 et u 2003 donc je peux bien remplacer v4 ici paris gr 4 et ensuite je peux normalisé y quatre ans prenant le vecteur eu 4 qui va être égale y 4 sur la longueur degré 4 donc ici je peux remplacer v4 par convecteurs eu 4 et maintenant u11 u12 u13 u14 forment une base hors tout normal de v4 et ainsi de suite et du coup je peux continuer jusqu'à que je tienne cas jusqu'à ce que j'ai vécu qui va être le vecteur de lui un u2 eu trois ou quatre etc jusqu'à lucas et là j'aurais bien obtenu une base hors normal de veka qui est également faite à mon souhait espace v et ce procédé qui est extrêmement utile porte un nom on l'appelle le procédé le procédé de g schmidt et voilà le procédé de gratuite c'est le procédé qui me permet de passer d'une base quelconque devait à une base hors tout normal devaient qu'on obtient à partir de des vecteurs de la base initiale devait voilà j'espère que tu as bien compris ce point là je te dis à bientôt pour une vidéo où on verra un peu des exemples du procédé de grant schmidt