Exemples d'applications linéaires : dilatations et réfléxions

donc on a déjà parlé pas mal de transformation linéaire dans les dernières vidéos est ce que je vais faire dans cette vidéo c'est te montrer qu'on peut utiliser en fait les transformations linéaire pour transformer des vecteurs d'une manière qu'on a décidé tu vas comprendre ça tout de suite donc on apprendre une transformation une transformation linéaire donc de transformation linéaire oups une transformation lean rt qui va de rm dans m est ce que tu sais c'est que eh bien cette transformation linéaire elle peut s'écrire à l'aide d'une matrice donc qui va transformer donc le vecteur x donc c'est juste le produit 2 d'une matrice à avec le vectrix et cette matrice là à c'est une matrice ème fois donc m ligne et n colonies et donc ce qu'on avait vu aussi dans une vidéo précédente c'est que cette matrice là qu est ce que c est bien cette matrice là on peut la représentait donc à l'aide de la matrice identité du du domaine de départ ici du domaine de définition donc la matrice de l'entité du départ du domaine de définition c'est une matrice identité elle ligne n colonnes c'est à dire qu'il ya des 1 sur toutes les diagonales ici et il ya des zéro partout ailleurs donc ça c'est la matrice identité et donc en fait si je transforme chacun des chacune pardon des colonnes de cette matrice identité là et bien je vais me retrouver avec la matrice donc en fait qu'est ce que c'est que la matrice est bien la matrice à c'est comme si c'était et bien la transformer 2 chacun de ces vecteurs l'a donc par exemple le premier vecteur ici je peux l'appeler eu un deuxième vecteur eux deux et le dernier vecteur ici ce sera le n puisqu'il ya donc une colonne ici donc la matrice à ça va être la transformer 2 e 1 ça c'est sa première colonne la deuxième colonne ce sera la transformer 2 e 2 et cetera et cetera transformer 2 e n et ça en fait c'est parce que eh bien chacune des colognes ici de la matrice identité c'est un vecteur de la base et donc l'ensemble des colonnes de la matrice identité sa forme une base de r n est donc si on transforme chacun des vecteurs de la base ici par la transformation eh bien on obtient la matrice à qui correspond à la transformation linéaire t bref ça on l'a déjà vu dans une autre vidéo mais on va en fait se baser là dessus pour créer des transformations linéaire particulière et on va faire ça à partir de herde donc ici on a dessiné deux repères dans r2 donc ça c'est r2 est ce qu'on va faire c'est déjà on va définir plusieurs points dans l'air de on va définir donc le point on va les dessiner le point 3 2 donc le point 3 2 ça va être un deux trois 2 ici ça va être ce point là on va prendre aussi le point - 3 2 donc le point - 3 2 c'est son symétrique ici par rapport à laax y est on va prendre un dernier point qui va être le point à 3 3 - 2 donc 3 - 2 ce sera le symétrique du premier point par rapport à l'axé x ici voilà donc ici j'ai mes trois points et donc si je relis mes trois points ici je vais avoir un triangle donc voila et l'ensemble des points qui couvrent ce triangle la leur transformation linéaire ça va être très bien le triangle que je vais pouvoir former à partir de la transformation linéaire individuelle de chacun de ces trois points c'est ce qu'on avait vu dans une vidéo précédent mais on va voir ça un peu après et donc ce qui m'intéresse ici ça va être de définir une transformation lean et à partir de ces trois mois et mon moi la transformation lhimer que j'aimerais bien avoir ici c'est une transformation linéaire qui va me faire une réflexion par rapport à laax y donc je m'attends à une réflexion par rapport à y donc c'est à dire que une réflexion par rapport à irex l'aqsiq un accès c'est lui là où je veux que mon triangle ils soient orientés de cette manière là voilà donc je vais te redessiné ici les points donc en fait le point jaune je veux qu'il soit ici le point rose je veux qu'il soit ici et mon point bleu je veux qu'ils soient en bas ici est ce que je veux c'est que dans un deuxième temps cette transformation linéaire la soie une homothétie donc une homothétie de un rapport de rapports 2 sur l' axe y de rapports 2 sur l' axe y c'est à dire que je veux que les coordonnées de y soit multiplié par deux ici donc qu'est ce que c'est qu'une réflexion par rapport à rilhac et bien une réflexion par rapport à y pour le point x donc mettons que on va pardon on va recommencer ça mettons que tu es donc je vais prendre une autre couleur mettons que tu es que je cherche t 2 x y ou xy ici est un est un vecteur est donc un point ici par la position la position finale du vecteur donc qu'est ce que je veux est bien petit 1 me dis que je veux une réflexion par rapport à y ait une réflexion par rapport à y ça ça veut dire quoi ça veut dire juste changé le signe des x donc en fait x je veux que ce soit - 6 après ma transformation est pour et pour y maintenant eh bien je sais que je veux une homothétie de rapports 2 sur l'axé grecque c'est à dire que je le multiplier par deux la coordonnée irak donc ici au lieu d'avoir y est bien ce que je veux c'est 2 y voilà donc ça eh bien c'est la définition de cette transformation l'inner une réflexion par rapport à y ait une homothétie de rapporte 2 sur l'axé d y est donc eva quelle va être la matrice qui correspond à cette transformation est bien pour calculer la matrice y correspond à cette transformation ce que j'ai dit tout à l'heure c'est qu'il me suffisait de prendre la transformation des colonnes de la matrice identité de l'espace de définition donc quelle est la matrice identité de l'espace des définitions et bien on sait y 2 donc ils 2 c'est donc la matrice carré 1 001 est donc ce que je vais faire c'est que je vais prendre et bien la transformer des vecteurs colonnes de cette matrice donc a en fait ça va être eh bien ça va être la matrice qui va être tes 2 1 1 0 2 1 0 tu es 2 0 et donc ça qu'est ce que c'est j'ai vu beaucoup de place mais ça ira alors la transformer 2 1 0 qu'est ce que c'est bien je regarde juste ici ici la définition de ma transformation linéaire et bien ça va être moins 1 les deux fois grèce c'est à dire deux fois 0 ça va être 0 ensuite pour le deuxième vecteur colonnes de matrix identité ça va être ici - 0 donc ça reste 0 et ici ça va être donc deux fois 1 2 donc voilà en fait la matrice qui correspond à cette transformation linéaire ici et maintenant ce qu'on va faire c'est qu'on va utiliser cette matrice pourrait bien pour regarder que ça marche bien pour vérifier que cette matrice là et bien la matrice de la transformation linéaire que j'ai décidé de dessiner ici donc comment on va faire ça et bien on va simplement on va simplement vérifier que lorsqu'on multiplient chacun des points ici de montrer entre chacun des sommets du triangle par cette matrice là eh bien on va bien retomber sur une réflexion par rapport à l'axé x et nos réflexions par avance par rapport à l'axé d y ait une homothétie le rapport 2 sur l'axé des y donc je vais multiplier matrice par le premier point ici donc 3 2 et voit ce que ça me donne donc c'est une simple multiplication d'une maîtrise par un vecteur donc trois fois moins un ça va me donner moins trois plus deux fois 0 ça fait toujours moins 3 ensuite trois fois 0-0 + 2 x 2 4 donc c'est le point - 3 4 c'est à dire que mon point en rose ici il s'est transformé en le point - 3 donc ici 4 voilà le voilà ici donc je vais faire la même chose pour le point - 3 2 donc je reprends ma matrice - 1 002 et je multiplie par moins 3 2 donc ça qu'est ce que ça va me faire eh bien ça va me faire moins trois fois moins 1 donc trois plus deux fois 0 3 ensuite ça va faire moins trois fois 0-0 + 2 x 2 4 donc j'avais avoir le point 3 4 ici alors là je ne sais pas pourquoi mon point tout à l'heure - 3 4 est parti en rose donc le revoilà ensuite le point 3 4 donc le point 3 4 et bien c'est celui là donc mon point jaune eh bien il se retrouve ici maintenant il me reste plus qu'un seul point à dessiner ici donc ça va être transformé 2 et bien 2 3 - 2 donc 0 2 3 - 2 donc et bien jours a multiplié ici donc moins 1 fois 3 ça nous fait -3 plus moins deux fois 0 sadr est moins 3 ensuite trois fois 0-0 plus deux fois moins de est égal à -4 donc je vais placer le point - 3 - 4 le voilà donc mon point monde points 3 - 2 et transformées en ce point et donc si je dessine le triangle résultant qu'est ce que je vais avoir ici et bien ce que je vais avoir c'est que je vais avoir une réflexion par rapport à l'axé d y donc je vois bien que le point jaune là qui était à gauche il se retrouve à droite et les deux points qui étaient à droite de l'axé d y se retrouve maintenant à gauche et ce que je vois aussi c'est que j'ai multiplié par deux les coordonnées y de chacun de ces points donc je me retrouve avec le triangle auquel je m'attendais selon les petits points la 1 et 2 selon la transformation linéaire que j'ai décidé ici et ça je sais bien que c'est la transformation linéaire de cet ensemble de points là ici puisque on sait que l'ensemble des points qui connecte donc ces trois points que j'ai dessiné c'est par la transformation c'est exactement l'ensemble des points qui connecte la transformation linéaire de ces trois points voilà et donc c'est exactement ce qu'on voulait et donc ce que je te dis ici mais que tu peux pas forcément déduire tout de suite c'est que n'importe quelle réflexion n'importe quel homothétie d'un rapport quelconque et bien ça va être une matrice diagonalistes mais tu verras ça un peu plus tard et donc ce qu'on a vu dans cette vidéo c'est qu'on pouvait créer des transformations l'inr customiser et tu comprendras en fait plus tard à quel point c'est utile en fait quand on fait du graphisme ou en fait des jeux vidéo