Contenu principal

Cours : Révisions CE1D > Chapitre 4

Leçon 2: Développer et réduire une expression littérale

Variables et expressions littérales FAQ

Foire aux questions sur les variables et les expressions littérales.

Qu'est-ce qu'une expression littérale ?

Une expression littérale est une expression qui comporte des nombres, des variables (les lettres) et des opérations. Par exemple,

2 x + 5

est une expression littérale se lisant " deux fois x plus cinq " ou " deux x plus cinq ".

x

désigne un nombre inconnu, une vraiable pouvant prendre plusieurs valeurs. Les opérations sont le plus souvent des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions.

Comment calculer la valeur numérique d'une expression ?

Pour déterminer la valeur numérique d'une expression littérale pour certaines valeurs des inconnues (les lettres), on remplace ces lettres par les valeurs données.

Par exemple, on doit calculer l'expression

A = 2 \times x + 5

pour

x = 3

. On remplace

x

par

3

\begin{aligned} A = 2 \times x + 5 & = 2 \times 3 + 5 \\ = 6 + 5 \\ = 11 \end{aligned}

Si l'expression comporte plusieurs inconnues, on remplace chaque inconnue par sa valeur donnée. Par exemple, si on doit calculer l'expression

B = x y + 3 y - 2

pour

x = 2

y = 4

\begin{aligned} B = x y + 3 y - 2 & = 2 \times 4 + 3 \times 4 - 2 \\ = 8 + 12 - 2 \\ = 18 \end{aligned}

Comment développer une expression littérale ?

Pour développer une expression littérale, on utilise la distributivité.

Par exemple :

\begin{aligned} 2 (x + 3) & = 2 \times x + 2 \times 3 \\ = 2 x + 6 \end{aligned}

Les expressions

2 (x + 3)

2 x + 6

sont égales. Selon la valeur de

x

, on utilise l'expression la plus facile à calculer.

Inversement, on peut factoriser une expression.

\begin{aligned} 7 x - 14 & = 7 \times x - 7 \times 2 \\ = 7 (x - 2) \end{aligned}

La factorisation de

7 x - 14

7 (x - 2)

permet, notamment, de déterminer plus facilement les valeurs de

x

pour lesquelles cette expression est égale à zéro.

Quelle est la relation entre le PGCD et le PPCM ?

Le PPCM de

a

et de

b

, noté PPCM(a,b) est le plus petit commun multiple des entiers

a

b

. C'est le plus petit nombre qui est multiple à la fois de

a

et de

b

. Par exemple, PPCM

(4, 6) = 12

, car

12

est le petit multiple commun de

4

et de

6

24

est aussi un multiple commun, mais ce n'est pas le plus petit !

Le PGDC de

a

et de

b

, noté PGDC(a,b) est le plus grand diviseur commun des entiers

a

b

. C'est le plus grand nombre qui divise à la fois

a

b

. Par exemple, PGDC

(8, 12) = 4

, car

4

est le plus grand diviseur commun de

8

et de

12

2

est aussi un diviseur commun, mais ce n'est pas le plus grand !

Quel est le lien entre le PGCD et le PPCM ? Le théorème suivant énonce que pour deux nombres entiers

a

b

, le produit de leur PGCD par leur PPCM est égal au produit de

a

par

b

. Soit :

PGCD (a, b) \times PPCM (a, b) = a \times b

. Ce théorème donne un moyen simple de calculer le PPCM de deux nombres !

Essayons avec

a = 15

b = 40

pour l'illustrer.

\begin{aligned} a \times b & = 15 \times 40 \\ = \underset{diviseurs de 15}{\underset{⏟}{3 \times 5}} \times \underset{diviseurs de 40}{\underset{⏟}{2 \times 2 \times 2 \times 5}} \end{aligned}

Le seul facteur commun est

5

, c'est donc le PGCD.

\begin{aligned} a \times b & = 15 \times 40 \\ = \underset{PPCM}{\underset{⏟}{3 \times 5 \times 2 \times 2 \times 2}} \times \underset{PGCD}{\underset{⏟}{5}} \\ = \underset{PPCM}{\underset{⏟}{120}} \times \underset{PGCD}{\underset{⏟}{5}} \end{aligned}

Le PPCM de

15

et de

40

est

120

. C'est un multiple de

15

car

15 \times 8 = 120

. C'est un multiple de

40

car

40 \times 3 = 120

. C'est le plus petit multiple commun car

3 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 120

. C'est le produit du PGCD,

5

, par le reste des facteurs non communs.

Que sont des termes semblables et comment les regrouper ?

Deux termes semblables sont deux termes qui contiennent la même variable élevée à la même puissance. Par exemple,

2 x

5 x

sont deux termes semblables car ce sont des termes en

x

à la puissance

1

, seuls leurs coefficients numériques changent. Mais

3 x

4 y

ne sont pas des termes semblables car les variables sont différentes. Il en est de même pour

x^{2}

x^{3}

car la variable n'est pas élévée à la même puissance.

On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients numériques. Par exemple, on regroupe

2 x

5 x

et on calcule :

2 x + 5 x = x (2 + 5) = 7 x

. On a additionné les coefficients

2

5

. Par convention, l'absence de coefficient devant une inconnue signifie qu'elle est multipliée par

1

, comme

1 x = x

- 1 x^{2} = - x^{2}

Réduire une expression littérale consiste à regrouper les termes semblables et à effectuer les calculs entre eux. Par exemple, on doit réduire l'expression

3 x + 4 y - 2 x + 2 y

\begin{aligned} 3 x + 4 y - 2 x + 2 y & = (3 x - 2 x) + (4 y + 2 y) & on regroupe les termes semblables. \\ = (3 - 2) x + (4 + 2) y & on factorise les termes en x et en y. \\ = x + 6 y & on effectue. \end{aligned}

Nous avons gardé le signe

-

devant

2 x

lorsque nous avons mis à côté l'un de l'autre les deux termes en

x

. Nous ne calculons pas entre eux les termes en

x

et les termes en

y

, comme ce sont deux variables différentes.

Si on a une expression à une seule inconnue, maisqui est élevée à des puissances différentes, nous ne pouvons pas les regrouper. Par exemple, on réduit l'expression

x^{3} + 2 x^{2} - x^{2} + 3

\begin{aligned} x^{3} + 2 x^{2} - x^{2} + 3 & = x^{3} + (2 x^{2} - x^{2}) + 3 & on regroupe les termes semblables. \\ = x^{3} + (2 - 1) x^{2} + 3 & on factorise. \\ = x^{3} + x^{2} + 3 & on effectue. \end{aligned}

Nous ne pouvons pas additionner ou soustraire des inconnues avec des exposants différents, car elles représentent différentes puissances de

x

Où utilise-t-on ces notions dans la vie courante ?

Ces chapitres sont utilisés dans de nombreuses situations concrètes, telles que la modélisation de relations et de fonctions, la résolution de problèmes liés à la monnaie, à la géométrie et aux mesures, l'analyse de données et de graphiques, ainsi que l'écriture et l'interprétation de formules et d'équations. Par exemple, nous pouvons utiliser des expressions littérales pour calculer des aires et des volumes, convertir des unités de température, calculer des vitesses...Le PGCD et le PPCM permettent de résoudre des problèmes de partage équitable, de trouver la meilleure offre de biens ou services comme le nombre minimal d'objets à acheter ou de déchets produits, les facteurs les plus communs. Les expressions littérales permettent de simplifier les calculs, de résoudre certains problèmes qu’on ne sait pas résoudre autrement, de prouver certaines propriétés générales... L'algèbre est un outil puissant qui nous aide à comprendre et à explorer le monde qui nous entoure.

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Connectez-vous

Trier par :

Pas encore de posts.

Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.