Résoudre un système d'équation à l'aide d'une matrice

donc après avoir vu addition multiplication soustraction mêmes inverse de matrix et bien on va revenir à des exemples un peu plus concret c'est à dire à quoi ça sert en fait dans le traitement des données ces notions de matrix et là on va prendre l'exemple en fait d'un système d'équations donc on va regarder ici plus précisément un système de deux équations linéaire donc linéaire pourquoi parce qu'en fait résoudre ce système revient à chercher l'intersection deux de droite dans un plan xy donc ce système est composé de deux équations la première c'est 3 x + 2 y égal c'est et la deuxième c'est moins 6 x + 6 y égale 6 donc on a bien deux équations et deux inconnus x et y sont nos deux inconnus alors si je ré arrange un peu cette première équation donc ça nous donne que y est égal à -3 2 me c'est un - ici - 3 2002 x + 7/2 donc qu'est ce que j'ai fait ici j'ai simplement fait moins 3 x de chaque côté de cette première équation et ensuite j'ai divisé par deux qu y égal moins trois 2002 x + 7 2 me donc cette droite par exemple un x égal à zéro on à 7 2 me ce qui fait 3,5 donc cette droite passe par lepoint 0351 de 3 3,5 donc on a une pente de -3 2 me ce qui veut dire que si j'avance d'une case eh bien je vais perdre 1,5 unités sur l'axé grecque donc ça veut dire que une case en avant est moins 1,5 sur l'aex y eut bien ça nous amène ici donc à main levée si j'essaie de tracer cette droite il vient ça nous donne quelque chose comme ça alors bien sûr pour être précis vrai travailler avec un quadrillage une règle etc mais l'idée est là alors si on réarrange cette deuxième équation on va faire plus 6 x de chaque côté ensuite divisés tous les termes tard 6 ça nous donne y/y qui est égal à x + 1 donc x + 1 c'est facile lorsque exposé rohi y vaut 1 lorsque x vaut moins 1 y vos héros donc notre deuxième droite c'est celle qui passe par les points x également un y égal zéro et x égal zéro y est gamin est donc en fait résoudre ce système d'équations linéaires de deux équations linéaire à deux inconnues bien ça revient en fait à trouver le couple xy qui satisfait ces deux équations et donc dans le plan b c'est en fait à trouver les coordonnées du point d'intersection entre ces deux droites qu'on a déterminés en réarrangeant les équations ici donc là tu dois commencer à te demander et les matrices dans tout simple et bien les matrices justement comment on peut résoudre ce système d'équations avec les matrices et bien on va considérer l'équation matricielle suivant on a une matrice avec les coordonnées 3 les éléments 3-2 - 6 et 6 donc tu peux reconnaître que j'ai choisi les coefficients qui sont devant xy dans ces deux lignes dans ces deux équations donc cette matrice avec les coefficients de notre système jeu-là multiplie par un vecteur colonnes xy pour obtenir un vecteur colonnes qui est en fait composé des deux nombreux résultats 7 et 6 donc cette multiplication est bien défini on a le même nombre de colonnes dans la première matrice donc deux de ligne dans la seconde alors si tu veux te convaincre que cette équation matricielle et bien exactement la même chose que ce système de deux équations linéaire bien je te laisse faire une pause et vérifiés par toi même c'est très simple de effectué c'est cette petite ville de multiplication matricielle pour vérifier qu'on obtient bien exactement la même chose alors nous on va pas le faire ici puisque c'est quelque chose qu'on a déjà fait dans la vidéo précédente par contre on va écrire de manière un peu plus formel cette équation matricielle donc on a une matrice on va appeler à ici que l'on multiplie par un vecteur donc j'ai noté avec une flèche pour être clair qui est égale 1-1 vecteur résultat que je vais également noté avec une flèche voilà notre équation matricielle la matrice à de taille de deux fois le vecteur colonnes x est égal aux vecteurs colonnes b donc dans le monde des scalaires par exemple avec les nombres réels si on a à x x qui est égal à b bien à ce moment là pour trouver la solution c'est quelque chose que tu que tu sais faire par coeur une manière intuitive c'est un sur a multiplié en fait chaque côté de cette équation parent sur un donc un sur à foix ax il est égal à 1 sur 1 x b ce qui nous donne bien sûr un sur à foix à ça fait 1 donc x est égal à b / a bien sûr on est dans la condition où année pagneux bain pour résoudre cette équation matricielle on va faire exactement pareil l'analogie en fait du monde d'escale r on va utiliser la matrice inverse alors puisqu'on est dans le monde des matrices on sait que de manière générale la multiplication n'est pas commutative donc il va falloir par contre faire attention où est-ce qu'on multiplie cette matrice inverse donc je vais multiplier ici à gauche à moins 1 fois un fois le vecteur x je mets des points pour représenter la multiplication donc je vais également multipliés sur le terme de deux de droite par à -1 à gauche on respecte bien le fait que la multiplication matricielle n'est pas commutatif donc à moins 1 fois le vecteur b alors à foix à -1 on l'a vu c'est par définition de la matrice inverse égal à la matrice identité grandit grandit x x est ici on a toujours à moins 1 fois le vecteur b et l'identité fois une maîtrise ça donne bien sûr cette matrice mme par définition donc le vecteur x qui est le vecteur inconnu que l'on cherche et bien c'est le produit de l' inverse de la matrice à part le vecteur b alors à ce stade tu vas peut-être te dire bon j'avais au départ un système de deux équations linéaire très simple à résoudre par substitution ou en faisant une combinaison linéaire et je me retrouve à devoir calculer linverse d'une matrice et me le faire une multiplication matricielle alors je n'ai pas l'impression effectivement que ça simplifie les choses mais en fait ça va dépendre un peu de la situation s'est par exemple on a un grand nombre de systèmes d'équations linéaires comme ça avec la partie de gauche qui est toujours identique donc la matrice à qui est toujours la même mais le vecteur b qui lui par contre change eh bien comme on aura calculer une fois l' inverse de la matrice et pourra trouver en fait de manière systématique vecteur x simplement en réutilisant cette matrice qui aura été calculé une fois pour toutes en fait il ya tout un tas de situations où c'est plus avantageux de faire le calcul matricielle donc ce qu'on va faire maintenant c'est calculé cette matrice inverse de à pour résoudre ce système d'équations matricielle donc l' inverse de aa à moins-17 égal à 1 sur le déterminant un sûr d'être dehors dette de la matrice à que l'on multiplie par cette fameuse matrice donc sur laquelle on a inversé les éléments pardon changer non pas l'inversé a changé les éléments de la première diagonale donc le 6 qui étaient en bas à droite se retrouve en haut à gauche et le 3 prend sa place et ensuite on garde les mêmes éléments mais on multiplie par -1 donc ici -6 devient 6 et 2 devient moins deux donc le déterminant le déterminant c'est le produit de la première diagonale - le produit de la seconde donc ça va faire trois fois 6 10 8 pour la première année gonal - moins deux fois six donc ça fait moins - donc ça fait plus 12 toujours x notre matrice 6 - 2 6 3 donc cette matrice inverse elle est égale à 1 30e 18 +12 donc fois notre matrice 6 - 2 6 et 3 donc notre vecteur x que l'on cherche la solution qui est donc égale à vecteur colonne composée des coordonnées x et y est bien donc c'est un trentième de la matrice 6 - 2 6 3 donc là j'ai fait que réécrire linverse de à que je multiplie par le vecteur b qui est donc cette es6 donc ça qu'est ce que ça nous donne et bien c'est parti ça va faire un 30e a toujours un trentième de vent alors ici on a six fois cette 42e auquel on ajoute deux fois 6 12 mai c'est un moins donc c'est moins deux fois 6 - 12 pardon donc ça fait six fois cette 42e -12 on se retrouve à 30 premiers éléments vaut 30 et enfin le deuxième 6 x 7 42 auquel on ajoute trois fois 6 10 8 donc on se retrouve à 60 si je simplifie puisque j'ai un trentième de vent et bien sûr le 1 30e c'est un scalaire donc il se distribuent sur chaque élément est bien ça nous donne 30 / 30 1 60 / 30/2 utilisant cette matrice inverse pour résoudre ce système il y en a trouvé que le couple xy qui satisfait ces deux équations et bien c'est xy est égal à 1 2 et donc concrètement ce que ça veut dire ça veut dire que ces deux c'est de droite qu'on a dessiné ici eh bien on d'un point d'intersection de coordonner un sur x et deux sur y c'est bien ce qu'on avait trouvé graphiquement voilà donc bien retenir cette analogie matricielle pour résoudre un système linéaire d'équations parce que ça peut servir non pas mal de domaines