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Cours : 5e année secondaire - 4 h > Chapitre 6

Leçon 12: Stratégie et exercices récapitulatifs

Des erreurs à ne pas faire et quelques points de méthode

Il y a beaucoup de règles et de stratégies, quand il s'agit de dériver une fonction ! Prenons un peu de recul pour définir les étapes, et l'ordre dans lequel les suivre, pour réussir à trouver la dérivée de n'importe quelle fonction, sans erreurs et de manière efficace.

Calculer sans erreurs la dérivée d'une fonction est parfois difficile. Nous vous donnons des conseils pour vous faciliter la tâche.

Rappel :

Fonction	Formule
Puissance	$[x^{n}]^{'} = n \times x^{n - 1}$ ‍
Somme	${[f (x) + g (x)]}^{'} = f^{'} (x) + g^{'} (x)$ ‍
Produit	${[f (x) \times g (x)]}^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$ ‍
Quotient	${[\frac{f (x)}{g (x)}]}^{'} = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}$ ‍
Composée	${[f (g (x))]}^{'} = f^{'} (g (x)) \times g^{'} (x)$ ‍‍

Ce sont les trois dernières formules qui font l'objet de cette leçon, car elles sont moins simples à appliquer que les deux premières.

Repérer si la fonction à dériver est le produit, le quotient ou la composée de deux fonctions

Il faut bien avoir en tête qu'il y a une différence entre une formule de dérivation relative à une fonction particulière, par exemple, la fonction

x \mapsto sin x

ou la fonction

x \mapsto x^{n}

et une formule relative au produit, au quotient ou à la composée de deux fonctions.

Dans le deuxième cas, il faut veiller à ne pas faire d'erreur sur le type de la fonction à dériver. Et il faut se poser la question "Cette fonction est-elle le produit de deux fonctions, le quotient de deux fonctions ou la composée de deux fonctions ?" Voici trois exemples :

Une fonction qui est le produit de deux fonctions : La fonction

x \mapsto (x^{2} + 1) \times \sin (x)

est le produit de deux fonctions. La formule de dérivation à appliquer est celle du produit de deux fonctions.

Une fonction qui est le quotient de deux fonctions : La fonction

x \mapsto \frac{\sqrt{x}}{\cos (x)}

est le quotient de deux fonctions. La formule de dérivation à appliquer est celle du quotient de deux fonctions.

Une fonction composée : Soit la fonction

x \mapsto (2 x^{2} - 4)^{5}

. Cette fonction est de la forme

x \mapsto (g \circ f) (x)

\underset{(g \circ f) (x)}{\underset{⏟}{(\overset{f (x)}{\overset{⏞}{2 x^{2} - 4}})^{5}}}

C'est une fonction composée. Il faut appliquer la formule de dérivation de la composée de deux fonctions.

Exercice 1

Voici comment Omar a calculé la dérivée de la fonction

x \mapsto (x^{2} + 5 x) \times \sin (x)

\begin{aligned} [(x^{2} + 5 x) \times \sin (x)]^{'} \\ = [x^{2} + 5 x]^{'} \times [\sin (x)]^{'} \\ = (2 x + 5) \times \cos (x) \\ = 2 x \times \cos (x) + 5 \times \cos (x) \end{aligned}

Sa réponse est-elle exacte $?$ ‍ Sinon, quelle erreur a-t-il faite $?$ ‍

(Choix A)
Il n'a pas fait d'erreur.
(Choix B)
Il a fait une erreur car il n'a pas appliqué la formule de dérivation d'une fonction composée.
(Choix C)
Il a fait une erreur car il n'a pas appliqué la formule de dérivation d'une fonction produit.
(Choix D)
Il a fait une erreur dans le calcul de la dérivée de la fonction $x \mapsto \sin x$ ‍.

Attention à ne pas oublier d'appliquer la formule de dérivation du produit de deux fonctions ou celle du quotient de deux fonctions.

A retenir : La dérivée du produit de deux fonctions n'est pas égale au produit de leurs dérivées.

De même, la dérivée du quotient de deux fonctions n'est pas égale au quotient de leurs dérivées.

Exercice 2

Voici comment Loïc a calculé la dérivée de la fonction

x \mapsto \sin (x^{2} + 5 x)

\begin{aligned} [\sin (x^{2} + 5 x)]^{'} \\ = [\sin (x) \times (x^{2} + 5 x)]^{'} \\ = [\sin (x)]^{'} \times (x^{2} + 5 x) + \sin (x) \times [x^{2} + 5 x]^{'} \\ = \cos (x) (x^{2} + 5 x) + \sin (x) (2 x + 5) \end{aligned}

Sa réponse est-elle exacte $?$ ‍ Sinon, quelle erreur a-t-il faite $?$ ‍

(Choix A)
Il n'a pas fait d'erreur.
(Choix B)
Il a fait une erreur car il a appliqué la formule de dérivation d'une fonction produit, alors qu'il devait appliquer la formule de dérivation d'une fonction composée.
(Choix C)
Il a fait une erreur dans l'application de la formule de dérivation d'une fonction produit.
(Choix D)
Il a fait une erreur dans le calcul de la dérivée de la fonction $x \mapsto x^{2} + 5 x$ ‍.

Attention à ne pas confondre une fonction composée avec une fonction produit.

Dans l'exercice 2, la fonction

x \mapsto \sin (x^{2} + 5)

est une fonction de la forme

x \mapsto (g \circ f) (x)

avec

g (x) = \sin (x)

f (x) = x^{2} + 5

. Il ne faut pas la confondre avec la fonction produit

x \mapsto \sin (x) \times (x^{2} + 5)

Il est parfois possible d'écrire autrement la fonction à dériver, et ainsi de simplifier le calcul de sa dérivée.

Nous allons en donner trois exemples.

Plus le calcul de la dérivée est simple, moins on a de chances de faire une erreur !

Parfois on peut mettre la fonction produit à dériver sous la forme d'un polynôme.

Par exemple, soit la fonction

f : x \mapsto (x + 5) (x - 3)

. C'est une fonction produit. Mais

(x + 5) (x - 3) = x^{2} + 2 x - 15

, donc on peut en déduire très facilement que

f^{'} (x) = 2 x + 2

Il aurait été beaucoup plus fastidieux d'utiliser la formule de dérivation d'une fonction produit.

En utilisant la formule de dérivation du produit de deux fonctions	En appliquant à chacun des termes la formule de dérivation d'une puissance
$\begin{aligned} [(x + 5) (x - 3)]^{'} \\ = [x + 5]^{'} \times (x - 3) + (x + 5) \times [x - 3]^{'} \\ = 1 \times (x - 3) + (x + 5) \times 1 \\ = x - 3 + x + 5 \\ = 2 x + 2 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} [(x + 5) (x - 3)]^{'} \\ = [x^{2} + 2 x - 15]^{'} \\ = 2 x + 2 \end{aligned}$ ‍‍

Bien sûr, on peut utiliser l'une ou l'autre de ces deux méthodes. Mais c'est la méthode où on applique à chacun des termes la formule de dérivation d'une fonction puissance qui est la plus rapide et où le risque de faire une erreur est le moindre.

Exercice 3

Soit la fonction

f

définie par

f (x) = (3 - 8 x) (2 x - 7)

Est-il possible d'écrire $f (x)$ ‍ autrement pour pouvoir calculer sa dérivée en utilisant uniquement la formule de la dérivée d'une puissance de $x$ ‍ ? Cocher l'expression de $f (x)$ ‍ qu'il faut utiliser.

Il en est de même avec certaines fonctions dont l'expression est un quotient.

On peut calculer la dérivée de la fonction

x \mapsto \frac{x^{6} - 8 x^{3}}{2 x^{2}}

en utilisant la formule de dérivation du quotient de deux fonctions. Mais on peut aussi écrire cette fonction sous la forme

x \mapsto 0, 5 x^{4} - 4 x

, et appliquer à chacun de ses termes la formule de dérivation d'une puissance. La dérivée obtenue est la fonction

x \mapsto 2 x^{3} - 4

. Attention dans ce cas-là à ne pas oublier de préciser que

x

doit être différent de

0

car la fonction donnée n'est pas définie en

0

et donc, sa dérivée ne l'est pas non plus.

Bien sûr, on obtient le même résultat si on utilise la formule de dérivation du quotient de deux fonctions, mais on a plus de risque de faire une erreur de calcul.

Attention, transformer l'expression du quotient de deux fonction n'est pas toujours possible. Par exemple, on ne peut pas écrire la fonction

x \mapsto \frac{x^{2} + 5 x - 14}{x - 7}

sous forme d'une fonction polynôme.

A retenir : 1. On peut toujours appliquer cette méthode si le dénominateur est un monôme.

2. Si le dénominateur est un polynôme, il est parfois possible de factoriser les deux termes de la fraction, puis de la simplifier.

3. Il ne faut pas oublier de déterminer le domaine de définition de la fonction donnée.

Exercice 4

Soit la fonction

f

définie par

f (x) = \frac{x^{5} - 2 x^{3} - 8 x^{2}}{x}

Est-il possible d'écrire $f (x)$ ‍ autrement pour pouvoir calculer $f^{'} (x)$ ‍ en appliquant à chacun de ses termes la formule de la dérivée d'une puissance de $x$ ‍ $?$ ‍ Cocher l'expression de $f (x)$ ‍, où $x \neq 0$ ‍, qu'il faut utiliser.

Un dernier exemple :

La formule de dérivation du produit de deux fonctions est plus simple à mémoriser que celle du quotient de deux fonctions. Si le dénominateur de la fonction donnée est un monôme, on peut toujours l'écrire sous la forme d'un produit de deux fonctions. Voici un exemple :

Soit à calculer la dérivée de la fonction

x \mapsto \frac{\sqrt{x + 3}}{x^{4}}

. Il s'agit de calculer la dérivée d'un quotient de deux fonctions, mais en fait, pour écrire l'expression de cette fonction sous forme d'un produit, il suffit de penser à écrire

1 / x^{4}

sous la forme

x^{- 4}

\begin{aligned} \frac{\sqrt{x + 3}}{x^{4}} & = \sqrt{x + 3} \times \frac{1}{x^{4}} = \sqrt{x + 3} \times x^{- 4} \end{aligned}

On peut donc calculer sa dérivée en utilisant la formule de dérivation du produit de deux fonction. (Mais attention à ne pas oublier que la fonction $x \mapsto \sqrt x + 3$ ‍ est une fonction composée.)

Exercice 5

Soit la fonction

h

définie par

h (x) = \frac{\sin (x)}{3 x}

Est-il possible d'écrire $h (x)$ ‍ autrement pour pouvoir calculer $h^{'} (x)$ ‍ en utilisant la formule de la dérivée du produit de deux fonctions $?$ ‍ Cocher l'expression de $h (x)$ ‍ qu'il faut utiliser.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Un conseil : Utiliser une égalité telle que

\frac{1}{x^{3}} = x^{- 3}

ou telle que

\sqrt{x} = x^{1 / 2}

, peut beaucoup simplifier le calcul d'une dérivée. Pour revoir comment écrire l'inverse d'une puissance en utilisant les exposants négatifs, ou un radical sous forme d'une puissance, vous pouvez faire ces exercices :

À retenir

Pour calculer une dérivée sans erreur, il faut, bien sûr, connaître les formules. Mais il ne faut pas oublier que parfois, le calcul d'une dérivée est grandement simplifié si on écrit autrement l'expression de la fonction à dériver.

En résumé :

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