Équations différentielles linéaires homogène d'ordre 2 n°4

dans cette vidéo on va résoudre un autre exemple d'équations différentielles d'ordre 2 linéaire homogène on à l'équation différentiel quatre fois la dérivée seconde et y par rapport à x moins huit fois la dérive est première de y par rapport à x + 3 fois la fonction y est égal à zéro et on a les conditions initiales y 2-0 égal 2 et y prime de 0 égal 1 2 me à partir de là je pourrai suivre le même raisonnement que dans les vidéos précédentes dire que exponentielle de r x est une solution substituer sa dans l'équation différentiel ensuite factoriser par exponentielle de r x pour obtenir l'équation caractéristiques et si tu veux revoir tout ça je t'invite à regarder à nouveau les vidéos précédentes pour te rappeler comment est ce qu'on obtient en effet l'équation caractéristiques mais dans cette vidéo je veux te montrer à quel point on peut résoudre ce type d'équations différentielles très rapidement et surtout mécaniquement alors l'équation caractéristiques de cette équation différentielle c'est quatre aires au carré - 8 r + 3 égal 0 si tu ne comprends pas bien d'où vient cette équation caractéristiques tu peux regarder à nouveau les vidéos précédentes mais si tu veux résoudre ça vraiment rapidement il suffit en fait de remplacer la dérivée seconde par et rocard et la dérive et première par air et la fonction parent ou par air à la puissance 0 et on obtient l'équation caractéristiques et maintenant on cherche les racines de ce polinum du second devait alors ça n'a pas l'air très simple à factoriser on va donc utiliser les formules des racines d'un polinum on a deux racines r1 d'abord r17 égal à moimbé alors b ici c'est moins huit donc - b ses huit plus la racine carrée de bo carré - 4 à ses bo caresser -8 au carré et ses 64 moins quatre fois à ses quatre fois cc3 tout ça sur 2 ha à ses 4 2 fois à ses huit on simplifie on a huit plus la racine carrée et de 64 - alors 4 x 4 16 16 x 3 ça fait 48 64 -48 toujours sur huit c'est égal à 8 plus racine carrée de alors 64 -48 combien ça fait ça fait 16 à 5 heures et de 16 sur huit et on peut encore simplifiée 8 + 4 la racine carrée de 16 c 4 sur 8 et ça c'est égal à 1 + 1/2 et puis r2 la deuxième racines de notre polinum alors je ne vais pas détailler comme je lé fais pour r1 puisque c'est presque la même chose sauf que au lieu d'avoir le signe + ici on va avoir le signe - et ça va nous donner un moins un demi donc les deux solution de cette équation caractéristiques sont air un égal alors en plus un demi c'est comme deux demis + 1/2 donc trois demis et r21 - 1/2 c comme de demi - 1/2 c'est un demi et grâce aux vidéos précédentes on sait que y égal c'est une constante fois exponentielle des x est une solution donc la solution générale de cette équation différentielle c'est y égal c'est un une constante fois exponentielle de notre première 3/2 3/2 x x plus ces deux une autre constante fois exponentielle de notre deuxième aire 1/2 x x donc résoudre cette équation différentielle revient en fait à résoudre cette équation caractéristiques qui est simplement un polynôme du second degré et une fois qu'on a déterminé la ou les valeurs de r on peut écrire la solution générale maintenant on va utiliser ces conditions initiales pour déterminer une solution particulier r alors on a y 2-0 égal 2 et y prime 2 0 et galles en demi donc on va commencer par déterminer y prie aime la dérive est première de y par rapport à x y prime c'est égal à trois demis fois c'est un x exponentielle de trois demis x x + 1/2 fois ces deux fois exponentielle de un demi point x alors on a d'abord y 2-0 égal 2 qu'est-ce qu'il se passe quand on substitue x par zéro dans les grecs on obtient ses 1 x exponentielle de 3 2 me soit 0 c'est exponentiel de zéro c'est un plus ces deux fois même chose exponentielle de 0 c 1 et qu'est ce qu'on nous dit on ne dit que quand x égal zéro y égal 2 donc ça c'est égal à 2 maintenant qu'est-ce qu'il se passe quand on substitue x par 0-2 y prime on a trois demis fois c'est un même chose exponentielle 2 0 ça fait 1 + 1/2 fois ces deux puisque exponentielle de 1/2 fois 0-0 potentiel de 0 c 1 et on sait que la pente quand x égal zéro c'est un demi donc ça c'est égal à un demi maintenant on a un système de deux équation à deux inconnues que l'on peut résoudre de plusieurs façons ce que je te propose de faire c'est de multiplier cette première équation par trois demies on obtient trois demis fois c'est un plus 3/2 fois ces deux égale trois demis fois de sa fait 3 maintenant on peut soustraire cette dernière équation à cette deuxième équation ici 3/2 fois c'est en moins trois demis fois c'est un ça fait zéro en 2000 fois ces deux - trois demis fois ces deux alors en demie moins trois demies c'est comme en demi moins en moins 1/2 c - d'un on a donc moins c'est 2 ct gala en demie - 3 c'est comme un demi - 6/2 et donc c'est moins 5,2 me on a donc ces deux égale 5,2 me maintenant on remplace ces deux par cette valeur dans cette première équation on a c'est un plus 5 2me égal 2 on soustrait 5/2 de chaque côté on a c'est un égal 2 - 5 2 me 2 c'est comme 4/2 on a donc quatre demies -5 2 me et c'est égal à -1 2 me et maintenant on remplace les constantes c1 et c2 par leur valeur dans notre solution générale et ça nous donne la solution particulière de l'équation différentiel que l'on est en train de résoudre alors cette solution particulière c'est y égal c'est un moins un demi ni fois exponentielle de trois demis x x c'est ce qu'on a ici plus ces deux alors c'est de ces cinq 2000 donc plus 5 de mille fois exponentielle de 1/2 x x exponentielle de 1/2 x x et on a terminé alors c'est vrai que ça paraît compliqué résoudre une équation différentielle d'ordre de linéaire homogène trouver une solution comme ça avec des exponentielle etc mais en fait le coeur du problème se dé résoudre un polynôme du second degré il faut comprendre d'où vient cette équation caractéristiques et si ce n'est pas clair pour toi tu peux regarder à nouveau les vidéos précédentes mais une fois que tu as compris ça il suffit de remplacer y secondes parejo carré y prime par air et y parent et on obtient cette équation caractéristiques qui est en fait un polynôme du second degré ont le résout et ça nous permet d'écrire la solution générale de l'équation différentiel et puis pour trouver la solution particulière on a besoin de la dérive est première de cette solution et des conditions initiales avec ça on obtient un système d'équations linéaires et quand on ne résout alors pour ça il nous suffit de nos connaissances de base en alger on trouve les valeurs de nos constantes les valeurs de c1 et de ses 2 ce qui nous permet d'écrire cette solution particulière solutions particulières telles que les conditions initiales soit respectée et c'est tout à bientôt dans la prochaine vidéo