Les matrices orthogonales conservent les angles et les longueurs

alors dans cette vidéo on va considérer une matrice c'est on va dire que c'est une matrice n parraine et on va considérer que c'est une matrice dont les colonnes forment un ensemble orthogonale donc dans les colonnes où on pourrait dire les vecteurs colonnes les vecteurs colonnes forment un ensemble forment un ensemble orthogonale orthogonale donc ça veut dire qu'en fait le produit scalaires d'un vecteur colonnes parano de weert vecteur colonnes va être égal à zéro et on va supposer en plus que les vecteurs colonnes sont unitaires c'est à dire que leur longueur est égal à 1 et ça en fait je n'ai pas nommé mais ça on dit du coup que la matrix et est une matrice de façon très originale orthogonale donc c est une matrice est une matrice orthogonale hors d'eau gonal est alors par contre une chose qu'on a déjà vu plusieurs fois et qui est extrêmement important c'est ce pourquoi ces matrices orthogonale sont extrêmement important c'est que la transposer deux matrices et alors c'est égal al'inverse de ma patrie c'est donc en fait je peux calculer très simplement linverse de matrix et parce que ça va être tout simplement lors de la la la transposer de matrix et ça c'est une relation qu'on va utiliser dans cette vidéo encore une fois et je vais te dire tout de suite pourquoi l'idée c'est que si on prend alors ça c'est un schéma classique qu'on a vu 20 fois on a un vecteur x et on s'intéresse aux coordonnées de x dans une base b aux coordonnées de hic dans une base b de compass des coordonnées de x dans la base économique aux coordonnées des ics dans une base b quelconque et si on suppose que la matrix c'est une matrice de passage alors on va passer des coordonnées de x dans la base b aux coordonnées de x dans la base économique en multipliant par la batterie c est l inverse on va passer des coordonnées du x dans la base canonique aux cours donnés 2x dans la base b en multipliant par la matrice inverse de c est bon ici on parle de matrice de changement de base mais le fait de passer de des coordonnées des x dans la base économique aux coordonnées de x dans la base b finalement ça c'est juste une application linéaire du coup on peut considérer que c'est c'est aussi la matrice correspondant à une application de nyer l'application linéaire qui fait passer des coordonnées de x selon la base b aux coordonnées de x selon la base canonique est ce qu'on va voir dans cette vidéo et ce pour quoi on va utiliser cette relation ici c'est qu'on va montrer qu'à ce moment là cette application linéaire associé à ma matrice c c'est une application binaire qui va conserver les longueurs et les angles dans les vecteurs donc on va regarder qu'est ce que ça veut dire que cette application lunaire conserve conserve les longueurs les longueurs et les angles et les angles alors si on regarde ça de façon géométrique on va dire on va se placer dans r2 parce que c'est là qu'on arrive à bien voir les longueurs et les angles on va prendre un premier vecteur x comme ceux ci on va prendre un premier avec le x on va prendre un deuxième vecteur comme ceci donc avec une longueur différente et surtout qu'ils forment un angle avec x là on a un angle teta et maintenant on regarde qu'est-ce qui se passe 6 on fait subir à ces vecteurs l'application lunaire correspondant à la matrice c'est qu'en fait on va multiplier ces vecteurs par c et qu'est ce que je vais avoir mais je vais avoir quelque chose où les vecteurs ont peut-être subir une rotation par exemple mais ce qu'on va obtenir c'est que si je réécris si je défile mon vecteur x il va du coup pas avoir la même la même orientation peut-être qu'il va il va subir une rotation mais il va avoir la même longueur donc ça maintenant c'est mon vecteur ses x x la longueur du vecteur ses x x et fait la même que la longueur de x est sûre gagnent ce deuxième vecteur il fuit en violet en fait on va avoir le cul lui aussi sa longueur va pas changer et ce qui est important c'est aussi que l'angle entre mes deux vecteurs n'a pas changé quand j'ai appliqué ma matrix c'est l'angle entre les deux acteurs n'a pas changé parce que l'application in her associés à ces conserves les longueurs et les angles alors qu'on pourrait très bien imaginer une autre application linéaire ou une autre transformation qui a au vecteur ix me fasse passer à un vecteur x qu'à une longueur complètement différentes qui a été beaucoup plus grand un lot de vecteurs ici dont la longueur a changé et aussi pour le l'ongle avec le vectrix change on peut très bien imaginer quelque chose comme ça à soins là on n'aurait pas conservation ici des longueurs et des angles donc selon cette transformation est ici à on a pas de conservation pas de conservation donc le fait qu'ici quand on passe par la matrice et on a une conservation des longueurs et des angles c'est quelque chose qui est important alors maintenant on va rentrer un peu plus c'est ici c'était un peu des mathématiques avec les mains maintenant on va essayer de rentrer un peu plus dans dans les équations qu'est ce que ça veut dire qu'on a conservation des longueurs ça veut dire que si on regarde la longueur de x c'est égal à la longueur du vecteur c'est x donc ce que je dis la longueur de x est égale à la longueur de ses x x alors ici je les marque est comme ça mais en fait c'est ce que je vais essayer de démontrer donc je vais prendre j'ai commencé par la longueur de ses x x et comme d'habitude dès qu'on travaille sur les longueurs pour la longueur carrés où le module au carré c'est quoi le module de cx au carré c'est égal ou produits scolaires de cx par lui même et c'est quoi le produit scalaires de ces x par lui même en fait si on regarde le produit scalaires si je prends un vecteur quelconque un vecteur y est je m'intéresse aux produits scolaires de y par lui-même en fait ce que je peux écrire c'est que le produit scolaire de geek par lui même ou les lire ça pourrait être deux vecteurs différents sache peut l'écrire comme la transposer de y le vecteur transposer de y x y là c'est plus un c'est plus un produit calais reims est juste un produit entre deux matrices on est passé d'un produit scalaires entre de vecteur à un produit entre deux matrices et en fait c'est tout simple si on regarde ça en laye déjà fait si on regarde que vaut la transposer de y c'est y un y de et cetera jusqu'à y n 7 on se pose et d y x y donc c'est y un y 2 y n et du coup si je fais le produit matricielle entre ces deux matrices qu'est ce que je vais avoir je veux avoir y un fort regain du coup y aurait plus y 2 o car est plus correct rocard et cetera jusqu'à + y n au carré et ça c'est bien égal au produit scalaires de y par lui même donc j'ai bien que le produit scalaires de y parle même c'est égal à la produit de la transposer de y x y donc je vais appliquer ça ici donc j'ai que le produit scolaire de cx par cxc égal à quoi c'est égal à la transposer de cx à transposer de ces x x cx ici c'est plus un produit scalaires c'est un produit matricielle alors l'autre chose dont on a besoin ici maintenant qu'est-ce que vous si je prends le la transposer de a b ab son ail baies sont deux matrices et je m'intéresse à la transposer de à x b ça ça va être égal à quoi ça va être égale la baie transposer à transposer qu'on a on a inversé en fait les l'ordre des matrices donc sage peut l'appliquer dans mon cas ici je vais avoir quoi je vais avoir x transposer fois la transposer de ces fois c'est x x et bien maintenant qu'est-ce que de quoi j'ai besoin pour pouvoir continuer et maintenant j'ai besoin de quelque chose qui est important c'est que vous transposez de ces fois ces jeux je sais que c est une matrice orthogonale et de coups je sais que la transposer de cct galles al'inverse de ces essais là où c'est important d'avoir cette égalité là parce que maintenant je sais que la transpo 2 c'est fois c'est ça ça vaut quoi ça vole l'identité tout simplement donc l'identité ça sert à rien de la réécrire je peux en fait ici je peux dire que transposer du x fois transposé de ces fois c'est x x c'est égal tout simplement à la transposer de l'x l'identité on peut l'oublier x x et ça c'est quoi la transposer du x x x on a vu que la transposer 2 y y c'est égal au produit scalaires 2 y y donc la transposer des x x x est égal au produit scalaires 2x par x donc ça ça vaut quoi ça vaut la norme là le module ou la longueur de x au carré donc ce que j'ai montré c'est que la longueur de ses x au carré c'est égal à lyon la longueur de x au carré et du coup j'ai montré que la longueur de x est égale à la longueur de ses x du coup il y à bien conservation de la longueur par l'application d'une ère associé à matrice c'est donc ça c'est le premier point j'ai bien montrer qu'il y avait conservation des longueurs maintenant il faut que je montre qu'il ya conservation des angles alors un angle à deux dimensions c'est facile à visualiser dans une dimension rennes c'est un peu plus compliqué en fait on va définir les angles d'une certaine façon on va définir en s'aidant du produit scalaires en fait on va dire que si on a deux vecteurs v et w le produit scalaires devait par w c'est égal au la norme ou la longueur devait fois la longueur de w x le cosinus le cosinus de l'angle d'état entre ces deux vecteurs et en fait c'est comme ça qu'on va faire intervenir l'angle entre ces deux vecteurs et du coup on peut dire que caussinus deux états c'est égal à quoi c'est égal au produit scolaire devait par w / la longueur devait fois la longueur de w et du coup une fois que ça c'est clair on peut s'intéresser aux cas qui nous intéresse donc nous ce qu'on va faire c'est qu'on va regarder caussinus de ce qu'on va appeler d'état s'est fait tasser c'est l'angle entre deux vecteurs après application après passage par l'application linéaire associé à matrix et donc ça c'est l'angle entre mes deux vecteurs finaux et c'est égal à quoi c'est égal du coup aux produits scalaires c'est fois vais donc qui est mon premier vecteur après transformation produit ce quart de ces x v par ces x w donc ça c'est mon deuxième vecteur / quoi diviser par la longueur de ses v fois la longueur de cw voilà donc ça c'est mon angle c'est le cosinus de mon angle entre mes deux vecteurs finaux alors la première chose qu'on peut faire c'est d'après ce qu'on a vu avant on a dit que l'application linéaire à sofia s'est conservé les longueurs donc la longueur de ses fleuves et ségala la longueur de v est de même la longueur de ses x w c'est égal à la longueur de w donc ça je peux le réécrire sous la forme le produit scolaire 2 cv par cw / quoi / la longueur devait fois la longueur de w alors très bien maintenant il faut qu'on s'intéresse à ce produit scolaire ici donc on va faire comme avant on va dire que le produit scalaires de cv par cw c'est cv transposer fois cw c'est assez égal à ces v transposer cw et d'après ce qu'on a dit pendant / la longueur devait fois la longueur de w et d'après ce qu'on a dit avant la transposer de cvc égale avait transposé s'est transposée donc je vais écrire ici fait assez égal à v transposer s'est transposée c'est w divisez toujours par la longueur devait fois la longueur de w très bien alors maintenant comme avant on se retrouve ici au milieu avec transposer deuxième fois c'est et on a vu ici que transposer de ces fois c'est c'est égal à la matrice identité ça c'est égal à la matrice identité et du coup qu'est ce qui me reste il me reste transposer devait transposer devait fois w / la longueur devait fois la longueur de w et c koi transposer devait fois w céréales ou produits scolaires devaient par w et du coup / la longueur devait fois la longueur de w et qu'est ce que c'est le produit scalaires de v par w / la longueur devait fois la longueur de w c'est tout simplement le cosinus de l'angle état initial entre mais vecteur v et w c'est égal au caussinus de mon angle initiale avant transformation par l'application linéaire associé à c'est donc ici qu'est ce que j'ai montré j'aime bien montrer qu'il y avait conservation de l'angle de l'angle entre mes deux vecteurs par transformation par l'application linéaire associé à c'est donc dans cette vidéo j'ai bien montrer qu'eux on avez conservation des longueurs c'est ce que j'ai fait dans la première partie et des angles entre mais vecteurs voilà j'espère que tu as bien compris cette partie là et je te dis à bientôt pour la prochaine vidéo