Contenu principal

Cours : Terminale option math complémentaires > Chapitre 7

Leçon 5: Méthode des rectangles

La méthode des rectangles et la notation sigma

Utiliser le signe somme.

Le signe somme

\sum

est une notation pour symboliser une somme de plusieurs termes de manière synthétique. Il est utilisé par exemple dans le domaine des statistiques, des suites ou des séries.

Exemple d'écriture avec le signe somme quand on utilise la méthode des rectangles

Soit le domaine délimité par la courbe représentative

C_{f}

de la fonction

f

définie par

f (x) = \sqrt{x}

et l'axe des abscisses sur l'intervalle

[0, 5; 3, 5]

. On veut approximer l'aire de ce domaine.

Pour cela, on utilise des rectangles à droite avec quatre subdivisions égales.

On note

A (i)

l'aire du

i^{ème}

rectangle.

La somme des aires des rectangles s'écrit :

A (1) + A (2) + A (3) + A (4) = \sum_{i = 1}^{4} A (i)

On exprime

A (i)

La longueur de l'intervalle de définition de la fonction est égale à

3, 5 - 0, 5 = 3

. On veut le diviser en

4

sous-intervalles de même longueur. La

largeur

de chaque rectangle est donc égale à

3 \div 4 = 0, 75

longueur

de chaque rectangle est égale à l'ordonnée de la borne supérieure de l'intervalle sur lequel il est construit (car il s'agit de rectangles à droite).

Soit

x_{i}

la borne supérieure de l'intervalle sur lequel est construit le rectangle

i^{}

. Pour déterminer

x_{i}

quel que soit

i

, la borne inférieure sur lequel est construit le premier rectangle est

x = 0, 5

et on ajoute l'amplitude de l'intervalle

0, 75

pour obtenir la valeur de la borne supérieure.

On a donc

x_{i} = 0, 5 + 0, 75 i

. On exprime la

longueur de

chaque rectangle qui est égale à

f (x_{i})

f (x_{i}) = \sqrt{x_{i}} = \sqrt{0, 5 + 0, 75 i}

On obtient l'expression de l'aire du

i^{ème}

rectangle :

\begin{aligned} A (i) & = largeur \times longueur \\ = 0, 75 \times \sqrt{0, 5 + 0, 75 i} \end{aligned}

On additionne ces aires pour

i

variant de

1

4

\begin{aligned} A (1) + A (2) + A (3) + A (4) \\ = \sum_{i = 1}^{4} A (i) \\ = \sum_{i = 1}^{4} 0, 75 \times \sqrt{0, 5 + 0, 75 i} \end{aligned}

Et la formule est démontrée !

Résumé : la méthode des rectangles et le signe somme

On veut approximer l'aire d'un domaine délimité par la courbe représentative de la fonction

f

sur l'intervalle

[a; b]

en divisant l'intervalle en

n

subdivisions égales.

On définit $Δ x$ ‍ : on note

Δ x

largeur

de chaque rectangle,

Δ x = \frac{b - a}{n}

On définit $x_{i}$ ‍ : on note

x_{i}

la borne supérieure de chaque subdivision,

x_{i} = a + Δ x \times i

On définit l'aire du $i^{ème}$ ‍ rectangle : la

longueur

de chaque rectangle étant

f (x_{i})

, l'aire du rectangle

i

est donc égale à

Δ x \times f (x_{i})

On additionne les aires des rectangles : On utilise le signe somme. Attention !

i

ne prend pas les mêmes valeurs pour des rectangles à droite et des rectangles à gauche :

Dans le cas des rectangles à droite, $i$ ‍ varie de $1$ ‍ à $n$ ‍.
Dans le cas des rectangles à gauche, $i$ ‍ varie de $0$ ‍ à $n - 1$ ‍ (on obtient les bornes inférieures de chaque subdivision).

Rectangles à gauche	Rectangles à droite
$\sum_{i = 0}^{n - 1} Δ x \times f (x_{i})$ ‍	$\sum_{i = 1}^{n} Δ x \times f (x_{i})$ ‍

Exercice 1.A

Dans cet exercice guidé, on va approximer l'aire du domaine délimité par la courbe représentative

C_{f}

de la fonction

f

définie par

f (x) = 0, 1 x^{2} + 1

et l'axe des abscisses sur l'intervalle

[2; 7]

en utilisant des rectangles à gauche et

10

subdivisions identiques.

Quelle est la longueur, $Δ x$ ‍, de chaque rectangle $?$ ‍

Δ x =

Exercice 2

Soit le domaine délimité par la courbe représentative

C_{g}

de la fonction

g

définie par

g (x) = \frac{5}{x} + 2

et l'axe des abscisses sur l'intervalle

[1; 7]

. On veut approximer l'aire de ce domaine en utilisant des rectangles à droite et

9

subdivisions identiques.

Quelle est la valeur approchée de l'aire de ce domaine $?$ ‍

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Connectez-vous

Trier par :

Pas encore de posts.

Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.