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Cours : Terminale spécialité math > Chapitre 7

Leçon 1: Les fonctions logarithmes

Démonstration des propriétés du logarithme

Dans cette leçon nous allons démontrer trois des propriétés du logarithme. Les raisonnements reposent sur cette formule :

$\log_{b} (b^{c}) = c$ ‍

L'image de

b^{c}

par la fonction logarithme de base

b

est

c

Il faut bien garder cette formule en tête car c'est sur elle que repose tout ce qui va suivre.

Le logarithme d'un produit : $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

On commence par raisonner sur un cas particulier. On prend le cas où

M = 4

N = 8

b = 2

On remplace

M

N

par ces valeurs dans

\log_{b} (M N)

. On obtient :

$\begin{aligned} \log_{2} (4 \times 8) & = \log_{2} (2^{2} \times 2^{3}) & 2^{2} = 4 et 2^{3} = 8 \\ = \log_{2} (2^{2 + 3}) & a^{m} \times a^{n} = a^{m + n} \\ = 2 + 3 & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) & car 2 = \log_{2} (4) et 3 = \log_{2} (8) \end{aligned}$ ‍

Donc on a établi que

\log_{2} (4 \times 8) = \log_{2} (4) + \log_{2} (8)

Ce n'est qu'un cas particulier mais on peut utiliser la même démarche pour démontrer la propriété.

Le raisonnement précédent repose sur le fait que

4

8

sont des puissances de

2

. Mais dans le cas général, quels que soient

M > 0

b > 0

, il existe un réel

x

tel que

b^{x} = M

et quels que soient

N > 0

b > 0

, il existe un réel

y

tel que

b^{y} = N

b^{x} = M

équivaut à

\log_{b} (M) = x

b^{y} = N

équivaut à

\log_{b} (N) = y

On obtient :

$\begin{aligned} \log_{b} (M N) & = \log_{b} (b^{x} \times b^{y}) \\ = \log_{b} (b^{x + y}) \\ = x + y & car \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) + \log_{b} (N) \end{aligned}$ ‍

Le logarithme d'un quotient : $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

La démonstration est analogue à la démonstration précédente.

x

y

sont les réels tels que

M = b^{x}

N = b^{y}

, alors

\log_{b} (M) = x

\log_{b} (N) = y

Donc :

$\begin{aligned} \log_{b} (\frac{M}{N}) & = \log_{b} (\frac{b^{x}}{b^{y}}) \\ = \log_{b} (b^{x - y}) \\ = x - y & car \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) - \log_{b} (N) \end{aligned}$ ‍

Le logarithme d'une puissance : $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍

x

est le réel tel que

M = b^{x}

, alors

\log_{b} (M) = x

Donc :

$\begin{aligned} \log_{b} (M^{p}) & = \log_{b} ({(b^{x})}^{p}) \\ = \log_{b} (b^{x p}) \\ = x p & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) \times p \\ = p \times \log_{b} (M) \end{aligned}$ ‍

On peut aussi démontrer cette propriété à partir de la propriété du logarithme d'un produit.

\log_{b} (M^{p}) = \log_{b} (M \times M \times … \times M)

, avec

p

facteurs égaux à

M

On applique la propriété du logarithme d'un produit et on obtient :

\begin{aligned} \log_{b} (M^{p}) & = \log_{b} (M \times M \times … \times M) \\ = \log_{b} (M) + \log_{b} (M) + … + \log_{b} (M) \\ = p \times \log_{b} (M) \end{aligned}

Et on a ainsi démontré les trois propriétés !

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Line Larose
Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de Line Larose «Comment résoudre la valeu ... »
Comment résoudre la valeur log2 racine carrée de 512 merci
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Réponse
- mgdenizet
  Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de mgdenizet «log_2(rac(512)) = log_2(r ... »
  log_2(rac(512)) = log_2(rac(2^9)) =log_2((2^9)^(1/2)) = log_2(2^(9/2)) = 9/2log_2(2) = 9/2×1 = 4,5
  Ce n'est pas très lisible sans éditeur mathématique !
  En fait il suffisait de penser à écrire rac(512) = rac (2^9) = 2^(9/2)
  Commentez le post de mgdenizet «log_2(rac(512)) = log_2(r ... »
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phil jean
Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de phil jean «a exposant (log an base a ... »
a exposant (log an base a de x ) = x est-ce c correct. D'où cela vient-il?
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Réponse
- Marie-Gabrielle Denizet
  Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de Marie-Gabrielle Denizet «Le log en base a du 1er m ... »
  Le log en base a du 1er membre est :
  log_a[a^(log_a(x)]= log_a(x)*log_a(a)
  Or, log_a(a) = 1, donc log_a[a^(log_a(x)]= log_a(x)
  et le log en base a du 2e membre est :
  log_a(x)
  log_a (y) = log_a (z) équivaut à y = z
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Le logarithme d'un produit : logb⁡(MN)=logb⁡(M)+logb⁡(N)‍

Le logarithme d'un quotient : logb⁡(MN)=logb⁡(M)−logb⁡(N)‍

Le logarithme d'une puissance : logb⁡(Mp)=plogb⁡(M)‍

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Le logarithme d'un produit : $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Le logarithme d'un quotient : $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Le logarithme d'une puissance : $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍