Vecteurs propres et espaces propres d'une matrice 3x3

dans la vidéo précédente on avait étudié cette matrice haïti qui est une matrice trois par trois et on avait réussi à obtenir les valeurs propres de cette matrice mais par contre on n'avait pas encore les vecteurs propres du coup on avait obtenu les valeurs propres en disant que lambda était une valeur propre si et seulement si cette équation était respecté ce qui voulait dire que le noyau de cette matrice ici n'était pas réduit aux vecteurs nul et si le noyau n'est pas réduit avec tendu ça veut dire que cette matrice n'est pas inversible et du coup que sont déterminants est égal à zéro et du coup on avait calculé sont déterminants 1000 à condition que ceux des terminaux était égale à zéro et on avait trouvé de deux valeurs propres pour cette matrice a qui sont lambda égale à 3 ou lambda égal moins 3 du coup on a maintenant ses valeurs propres est ce qu'on aimerait obtenir c'est l'évêque trop près et bien sûr les espaces propres associés à ses valeurs propres alors du coup ce qu'il faut faire pour obtenir ces vecteurs propres c'est dire que les vecteurs propre appartiennent au noyau de cette matrice et du coup il suffit de déterminer le noyau de cette matrice pour des valeurs spécifiques de la bna qui sont les valeurs propres du coup 3 et -3 du coup si on commence on va faire pour lambda égal 3 qu'est ce qu'on a alors ici j'ai déjà 1000 la la la matrice lambda identité - a du coup on a on n'a plus qu'à faire la même chose pour lambda égal 3 du groupe hollandais égal 3 cette matrice qu'est ce que c'est c'est la matrice où on a du coup sur la diagonale on a trois plus un du coup ça fait 4 ici on a 3 - 2 se fait 1 et 3 - 2 ça fait 1 et du coup le reste on n'a qu'à recopier du coup - 2 - 2 1 - 2 - 2 1 et du coup si v appartient au noyau de cette matrice ça veut dire que cette matrice fois le vecteur v du coup v1 v2 v3 doit être égale aux vecteurs nul le vecteur 000 du coup ce qu'on va faire ici c'est qu'on va mettre cette matrice sous forme échelonné réduite pour pouvoir déterminer facilement le noyau de cette matrice donc on va y aller alors qu'est ce qu'on a on a ce qu'on va faire c'est qu'on va garder la première ligne 4 - 2 - 2 on va remplacer la deuxième ligne par deux fois la deuxième ligne plus la première ligne du coup deux fois moins 2 a fait - 4 - 4 + 4 ça fait 0 2 x 1 2 - 2 ça fait 0 2 x 1 2 - 2 ça fait zéro et c'est la même chose pour la troisième ligne en fait c'est exact on a mis du coup on va faire la même chose et on va obtenir des zéros et du coup la seule chose qui nous reste à faire c'est faire apparaître à un ici du coup on va diviser la première ligne par quatre on va avoir un moins un demi - 1/2 et bien sûr on réécrit les autres fils qui sont uniquement des 0 du coup avec ça on peut déterminer facilement le noyau donc je vais réécrire v1 v2 v3 ça c'est égal avec temps nul coup ses lecteurs 000 alors qu'est ce qu'on a à partir de ça on a du coup on avait 1 - 1/2 de fait 2 - 1/2 2v 3 qui est égal à zéro et les autres lignes ne nous donne pas d'information du coup si on pose par exemple si on dit que v2 est égal à un réel a par exemple et on va dire que v3 est égal à un réel b à ce moment là on a que v1 est égal à quoi est égal à un demi de v2 du coup un 2002 a plus un demi de v3 du coup un 2002 b et du coup avec ça on peut déterminer l'espace propre du cou qui correspond au noyau de demain matrice l'espace propres lié à la valeur propre 3 ça va être égal à quoi ça va être l'ensemble des vecteurs v1 v2 et v3 qui sont égaux aux alors ici du qu'on va mettre à foix un premier vecteur plus b fois un deuxième vecteur et on sait que a et b appartiennent tous les deux à r alors maintenant il reste plus qu'à remplir ces vecteurs v1 sait on a 10 1/2 de a du coup un demi de à +1 2002 b + 1/2 2b v2 ces gars là a du coup c'est un à + 0 b et v3 cb du coup c'est 0 à + 1 b et du coup à partir de ça on sait qu'on peut réécrire le l'espace e3 comme le vecteur de des vecteurs 1/2 1-0 et 1/2 0 1 du coup on a obtenu l' espace propre liée à la valeur propre 3 et du coup maintenant ce qu'on veut faire c'est obtenir l'espace propre liée à la wla propres - 3 alors pour ça on peut revenir ici je vais essayer de faire le calcul ici du coup si on prend lambda égal moins 3 qu'est ce qu'on a alors on à la matrice lambda identité waza devient ici c'est moins 3 du coup ça fait moins de vichy - 4 - 5 pardon - 3 - 2 - 5 et - 5 ici je recopie les autres termes -2 -2 1 - 2 - 2 1 très bien et on veut encore déterminé le noyau de cette matrice du coup on va la mettre sous forme et je venais réduite du coup si on fait ça qu'est ce qu'on va avoir alors je vais faire plusieurs étapes à la fois je vais pour pour gagner un peu de temps je vais multiplier je vais dit viser la première ligne par moins deux coups si je divise moins de vent moins deux joueurs à 1 1-1 et je vais faire la deuxième les gérants passé la deuxième ligne par la deuxième ligne - la première ligne du coup je vais avoir zéro ici ici je vais avoir - 5 - moins de du coup moins cinq plus de ça fait moins 3 ici je vais avoir un mois -2 du coup un pl 2 3 et là de la d'annalynne je vais faire la dernière ligne - la première ligne du coup je vais avoir ici 1 0 ici 1 - -2 du coup ça fait en plus de ça fait 3 ici - 5 - moins deux mois cinq le 2 ça fait moins trois très bien et du coup je vais faire une autre étape je suis allée ici je vais réécrire la première ligne 1 1 1 je vais faire deux étapes encore à la fois je vais diviser la cette ligne la deuxième ligne pas moins 3 du coup ça fait 0 1 - 1 et je vais remplacer la tanning par la dernière ligne plus la deuxième ligne du coût zéro plus zéro ça fait 0 3 - 3 ça fait zéro et moins trois plus trois ça fait zéro du coup la gema matrice sous forme échelonné réduite et si je veux connaître maintenant le noyau je multiplie sa part mon vecteur v1 v2 et v3 il dit que ça c'est égal avec temps nul le vecteur 000 très bien alors qu'est ce que ça me donne ça me donne du coup pour la première ligne g v1 plus v2 plus v3 égal à zéro pour la 2e minute chez v2 - v3 égal à zéro et du coup ce que je vais faire c'est que je vais dire que v3c mavraj habib jeudi que v3 est égal à un réel jeu appelé le real tu es du coup ma deuxième ligne me donne que v2 est égal à thé aussi est ma première ligne me donne que v1 est égal à - v 2 - v3 du coup moins de thé - 2 t et du coup à partir de ça je peux calculer mon espace propre associé à la valeur propre - 3 ça va être égal à quoi ça va être égal à l'ensemble des vecteurs v1 v2 v2 v3 égaux à 1 réalité fois le vecteur alors y fit verser moins de thé du coup moins 2 v 2 ct et v3 s'était engouffré lecteurs - 2 à 1 pour tes un réel et du coup à partir de ça je peut réécrire mon espace propre associé à la valeur propre - 3 c'est quoi c'est tout simplement le vectes du vecteur -2 1 1 voilà l or il ya une chose qui est intéressante si on regarde maintenant on a nos deux nos deux espaces propres associés à la valeur propre -3 ici est associée à la valeur propre 3 ici est-ce qu'on peut remarquer la première chose qu'on peut remarquer c'est que ce vecteur est ici on fait le produit scalaires de ce vecteur par un des vecteurs de 3 ici par exemple si on fait le premier vecteur on va voir un demi fois moins 2 du coup ça fait moins 1 + 1 x 1 du coup moins un plus un ça fait zéro du coup les ce vecteur là et orthogonale à ce secteur là et de la même façon si on fait le produit calais avec le second vecteur on a un demi fond au moins deux ça fait moins 1 + 1 du coup ça fait zéro du coup ce vecteur ici et orthogonale à ces deux vecteurs ici du coup l'espace propres associés à la valeur propre -3 et orthogonale à l'espace propres associés à la valeur 3 et elle a maintenant si on essaye pour finir de représenter sa graphiquement qu'est ce qu'on va avoir alors on peut dessiner ici l'espace propres associés à la valeur propre 3 c'est un plan vu qu'il est défini par deux vecteurs c'est un plan de r3 du coup on va dessiner ce plan ça on a dit que c'était à eux trois l'espace propre liée à la valeur propre et ce plan est définie par ces deux vecteurs ici donc que je vais représenter par exemple comme ceux ci est et comme ceci je ne sais pas exactement comme ils sont mais on va supposer qu'ils sont comme ça et qu'est-ce que j'ai que l'espace propre liée à la à la valeur propre - 3 c'est une droite vu que se définit par un seul facteur qui est orthogonale à ce plan du coup c'est alors le seul vecteur là ici il ça va être un vecteur comme ceux ci qui va être orthogonale au plan e3 et du coup qui définit une droite comme ceux ci perpendiculaire orthogonale pardon aux plans et cette droite c'est l'espace propre liée à la valeur propre - 3 voilà du coup là j'ai représenté mais deux espaces propre espace propre il est la valeur 3 à la valeur propre 3 et -3 et du coup qu'est ce qu'on a supposons qu'on est un vecteur avec x qui appartiennent à à l'espace propre liée à la valeur propre 3 du coup on va dessiner ce vecteur un peu comme ceux ci supposons que ça c'est avec x qui appartient à l'espace propres associés à la valeur propre 3 à ce moment là si on calcule le vecteur à x x vu que ce vecteur appartient à eux trois à x x ça va être juste trois fois ce vecteur du coup ça va être un vecteur qui va être comme ceux ci comme cela c'est le vecteur à x x c'est juste que la longueur du vecteur a été multiplié par trois mais l'orientation et le sens du vecteur ont été conservés et si on prend maintenant un vecteur sûr qu'ils aient compris dans l'espace propres associés à la valeur propre - 3 par exemple si on prend un vecteur comme ceux ci se hector est compris dans l'espace propre lié à la valeur propre - 3 on peut l'appeler le vecteur y assume relation calcul à x y ce vecteur ça va être le vecteur afrique rex avec un vecteur dont le sens est opposé lucas - et dans la longueur va être trois fois la longueur du vecteur y donc ça va être un vecteur qu'être comme ceci ça c'est le vecteur à x y puisque le vecteur y est compris dans l'espace propres lié à la valeur propre -3 le vecteur à feu y est trois fois plus long que le vecteur y est son sens est opposé au sens de y voilà donc j'espère que tu as bien compris qu'on peut on peut sans trop de problèmes calculé aussi les espaces propres à trois dimensions et que ça nous donne des informations sur la façon dont les vecteurs vont réagir par rapport à l'application l'inr liés à notre matrice à voilà à bientôt