Introduction aux valeurs propres et vecteurs propres

supposons qu'on s'intéresse à une application linéaire t2 rn2 rn2 rn2 rn2 est reine dans cette vidéo on va s'intéresser à certains vecteurs particuliers tels que thé de vtt d'un vecteur v soit égal à un scalaire lambda fois ce vecteur vais donc ça veut dire que le vecteur vais quand lui applique la transformation t il est modifié de telle sorte à ce que le thé devait soit égal à un certain scalaires fois vais donc c'est à dire que le vecteur v n'est pas entre guillemets trop modifié il est seulement il est seulement agrandis ou un petit fille d'un d'un facteur lambda donc ça c'est quelque chose que on avait déjà vu sans le savoir dans une vidéo il ya un moment on avait vu on s'était passé derrière 2 donc on a leur père dans r2 qu'on avait un vecteur v n'avait un vecteur v1 même et on avait le vecteur v1 qui est égal on avait dit aux vecteurs 1,2 et du coup ce vecteur génère bien sûr une droite il génère une droite d comme ceux ci et on s'était intéressé à une application in her l'application linéaire t2 r2 dans r22er de dents r2 qui a tous vecteurs appliquée en fait le symétrique par rapport à la droite des donc qui qui effectue un un miroir un miroir par rapport au rapport à ma droite des donc par exemple si on a un vecteur x on va dire comme ceux ci prend un vecteur x comme ceux ci ça ça avec x quelconque on va avoir que tu es 2 x va être comme ceux ci té 2x est comme ses fils et c'est bien le miroir où le symétrique par rapport à la droite des et on avait vu un premier vecteur qui était un peu un peu différent des vecteurs ici c'est assez compliqué pour avec x quelconque d'obtenir le vecteur t2 x laissez pas c'est pas quelque chose de trivial par contre on voit très bien que on a un premier cas particulier qui est si on applique t au vecteur v 1 t 2 v 1 v1 le symétrique de 20 par rapport à droite d'essai s'est lui-même en fait il n'est pas changer du coup donc tu es devient c'est égal à lui-même c'est égal avait un et du coup si on reprend la notation ici on peut dire qu'en fait tu es tu viens on peut l'écrire comme une fois v1 il y avait un deuxième vecteur d'intérêt un deuxième vecteur un peu particulier qui était le vecteur qu'on avait appelé v2 le vecteur de -1 v2 c'est le vecteur de -1 pourquoi est-ce qu'il était particulier parce qu'en fait v2 était orthogonale à l'endroit des et du coup si on applique l'application linéaire t avait deux on va avoir que tu es de v2 ça va être quelque chose qui est comme ceux ci s'était levé 2 et en fait on voit que t'es devez 2,7 et gala - b2t de v2 c'est égal à - v2 on peut aussi l'écrire c'est exactement la même chose on peut dire que tu es de v2 c'est égal à moins une fois v2 donc en fait ces vecteurs ici un peu particulier si des vecteurs qui sont particulier parce que en fait l'oeuvre direction ne va pas changer quand on leur applique l'application inerte et en fait ici le vecteur v1 génère la droite dès qu'on lui applique l'application linéaire t il reste sur cette droite des de la même façon ici v2 il est sur une droite comme ceux ci est en fait le vecteur tv2 va être aussi sur cette même droite la direction ne change pas par contre le sens du vecteur peut changer ici v1 le sens ne change pas mais v2 le sens de v2 et de tde v2 est différent par contre la direction reste la même qu'en faite sur ces vecteurs particulier la direction et conserver alors que la longueur et le sens où la l'amplitude et le sens peuvent changer et on avait vu aussi un cas un peu similaire où on avait à un plan qu'on se placer derrière troyes on avait un plan comme ceux ci on avait deux vecteurs du plan comme ceux ci et on avait un troisième vecteur qui était perpendiculaire au plan et ont regardé orthogonale au plan et à regarder l'application de même façon l'application qui faisait un miroir par rapport à ce plan et du coup on avait dit que pour ces deux vecteurs ici en violet l'application ne changeait pas en fait t'es de ce vecteur ça reste ce vecteur puis qu'il est dans le plan la même chose pour celui-là ce vecteur si on lui applique l'application il reste dans le plan et ce vecteur johnny shih par l'application in her serait transformé en un vecteur qui serait l'opposé donc ici on a la même chose soit les vecteurs reste identique soit ils sont transformés l'un devient l'opposé t de ce vecteur devient la transformer de ce vecteur devient moins ce vecteur en fait ici ses vecteurs un peu particulier on va leur donner un nom on va dire on va les appeler vecteur propre donc les vecteurs comme ceux ci les vecteurs tels que thé devait est égale allende avait on appelle un vecteur propres c'est un vecteur propres de l'application l'inerte et et de la même façon lambda le lambda associés on va appeler ça on va appeler ça la valeur propre valeur propre et ça va être la valeur propre associés associé à un bon vecteur propre v fait s'il ya toujours un couple du d'un vecteur propre et d'une valeur propre et du coup qu'est ce qu'on a on a ici que v 1 v1 est bien un vecteur propre vu que t'es devient est égale une fois vient donc v1 est un vecteur propres de mon application linéaire t2 valeur croît pas associer un et de la même façon v2 est un vecteur propre de cette même application t'ai vu que t'es dvd est égal à moins une fois v2 et la valeur propre associés avaient d'eux est égal à -1 donc si je leur ai écrit le vecteur le vecteur 1 2 et 1 acteur propre est un vecteur propre propre de t2 valeur de valeurs propres de valeurs propres 1 est le vecteur de -1 est un vecteur propres 2 t de valeurs propres deux valeurs propres - un bon alors très bien on a donné un nom à ces vecteurs qui sont un peu particuliers ou ou scalaires qui leur est associé on a dit que c'était des vecteurs propres et des valeurs propres à quoi ça sert ici si tu te souviens en fait on est on avait on s'était focalisée sur ces deux vecteurs v1 et v2 parce qu'en fait on pouvait grâce à ces vecteurs exprimé l'appliquer fallait la matrice associée à l'application linéaire t de façon assez simple en fait dans une base définie par ces deux vecteurs l'application la matrice associée à l'application linéaire t s'exprimer très facilement et du coup c'est pour ça qu'on utilisait ces vecteurs là et de la même façon dans cet exemple là c'était exactement la même chose si on prend comme base de l'espace r3c trois vecteurs la matrice associée à l'application linéaire qui fait un miroir par rapport au plan vert s'exprime très simplement dans cette base constituée des trois vecteurs et du coup en fait c'est ça l'intérêt des vecteurs europe c'est de pouvoir ensuite ça ce sont des bons candidats pour une base de l'espace et pour exprimer plus simplement l'application linéaire dont ils sont vecteurs propres ou valeurs propres et à ce propos il ya une chose qu'il faut mentionner si dans le cas général on sait que je peux dire que tu es 2x est égale à une matrice à x x ou la matrice à est la matrice associée à l'application linéaire tu es ici vu que j'ai dans le cas d'un vectes homme j'étais devait qui est égal à lambda fait mais ça on peut toujours dire que ces gars-là à x v et du coup on va dire en fait que v on va dire que c'est donc c'est un vecteur propres associés à l'application inerte et mais on va aussi dire que v est un vecteur propres de à v est un vecteur propre propre 2 de matrice à la matrice rae temps la matrice associée à l'application linéaire thé et de même façon lambda sera une valeur propre de sa valeur propre 2 à ce sera pas n'importe quelle valeur propre ce sera la valeur propre associés aux vecteurs propre v voilà donc l'idée de cette vidéo c'est qu'on a regardé les vecteurs un peu particulier qui s'exprime de façon assez simple dont le le résultat de l'application linéaire appliquée à ces vecteurs est quelque chose d'assez simple qui s'expriment simplement en fonction du vecteur initial on a appelé ses vecteurs vecteur propre et le scanner associés on l'appelait une valeur propre et en fait on a dit qu'on allait utiliser ses vecteurs pour permettre d'exprimer simplement par exemple la matrice associée à l'application linéaire selon une base de ces vecteurs propres